Możliwe prace magisterskie:

Zgadywanie wyrazów ciągów, teoria i zastosowania

Zarówno w matematyce jak i w różnych zastosowaniach dość często pojawiają się ciagi takie że potrafimy obliczyć kilkanaście, kilkadziesiąt lub więcej pierwszych wyrazów, ale nie znamy wzoru. Obecnie istnieją programy komputerowe które dla niektórych (stosunkowo ważnych) postaci wzorów potrafią wyznaczyć możliwy wzór gdy jest dany pewien początkowy podciąg. Ponadto, przynajmniej w niektórych sytuacjach relatywnie łatwo można udowodnić że odgadnięty wzór jest poprawny. Celem pracy byłoby omówienie podstaw teoretycznych i zaprezenowanie na przykładach jak taki program pomaga w rozwiązaniu problemów matematycznych.

Funkcja G Meijera

Dokładne rozwiązania wielu problemów wymagają użycia funkcji specjalnych. Funkcja G Meijera jest bardzo ogólną funkcją specjalną (wiele innych funkcji jest jej szczególnym przypadkiem). Dzięki swoim własnościom pomoga ono obliczać wiele całek (szczególnie całek oznaczonych od 0 do nieskończoności). Celem pracy byłoby omówienie podstawowych własności tej funkcji i pokazanie na przykładach jej użycie do obliczania całek.

Polylogarytmy

Polylogarytmy są funkcjami uogólniającmi logarytm. Pojawiły się dawno, już w pracach Eulera i Kummera, ale ostatnio ich znaczenie wzrosło. Mogą być zdefinowane szeregami potęgowymi lub za pomocą całek. Celem pracy byłoby elementarne przedstawienie polylogarytmów i podanie przykładowych całek które można przy ich pomocy obliczyć.

Obliczanie funkcji eliptycznych

Funkcje eliptyczne odgrywają dużą rolę we współczesnej matematyce i jej zatosowaniach, dlatego numeryczne obliczanie tych funkcji jest ważne. Dla funkcji eliptycznych można podać bardzo wydajne metody obliczeniowe oparte na specjalnych własnościach tych funkcji. Celem pracy byłoby zaprezentowanie metod obliczania funkcji eliptycznych (włączając całki eliptyczne) ze szczególnym uwzględnieniem obliczeń wielokrotnej precyzji.

Asymptotycznie szybkie obliczanie funkcji typu hipergeometrycznego

Naiwne metody numerycznego obliczania dla większości funkcji elementarnych czy specjalnych prowadzo do dość szybkiego (typowo kwadratowego) wzrostu wymaganej pracy przy wzroście wymaganej dokładności. W 1997 B. Haible i T. Papanikolaou podali metodę pozwalającą znacznie przyspieszyć obliczanie niektórych funkcji przy dużej dokładności (nieco później metodę rozszerzo na większą klasę funkcji). Celem pracy byłoby zaprezentowanie metody i zaprogamowanie jej, porównując wyniki z prostszymi metodami.

Entropia zbiorów i trudności reprezentacji funkcji wielowymiarowych.

Entropia zbioru w przestrzeni metrycznej mierzy ilość informacji potrzebną do reprezentacji zbioru z zadaną dokładnością. Okazuje się że dla funkcji wielu zmiennych już przy stosunkowo niedużej dokładności informacja zawarta w funkcji jest tak duża że nie mieści się we współczesnych komputerach. Celem pracy byłoby dokładniejsze przedstawienie powyższego.

Analiza obrazu przez rozkład na składowe za pomcą ADMM

Celem byłoby przedstawienie metody podanej w pracy Parikha i Boyda.

Równoczesne wyostrzanie i odszumianie obrazu za pomocą optymalizacji wypukłej z operatorem proksymalnym

Celem byłoby przedstawienie metody podanej przez Becka i Teboulle.

Złośliwe dane dla sieci neuronowych i odporność na błędy

Kilka lat temu odkryto że można złośliwie dobrać dane, tak by były bardzo blisko sensie średniokwadratowym do jednego przykładu, ale by sieć je klasyfikowała jako innym przykład. Niedawno podano metody uczenia sieci tak by ograniczyć możliwość błędów z powodu złośliwych danych. Clelem pracy byłoby dokładniejsze przedstawienie tych wyników. Uwaga: jest to obszerny temat i możliwe jest rozbicie go na więcej prac.