U W A G A:   -   zalecany wiek: 18 lat,   -   ostrożnie z dodawaniem,   -   ostrożnie z nieskończonością.

Napis:  
            0,7272727272727272...
 
jesteśmy przyzwyczajani, by traktować jak liczbę.
 
Powstaje on na przykład przy dzieleniu pisemnym:
 
            0,7272...   
            8      :      11
            0   
            80
            77   
             30
             22   
              80
              77   
               30
               22   
                8
                ...
 
Uważamy więc, że napis ten reprezentuje tę samą liczbę co ułamek 8/11 (lub ułamek 16/22) :
 
            0,7272727272727272... = 8/11 .
 
Podobnie jest z:
 
            0,666666... = 2/3 .
 
Zgadzamy się też, że
 
            2/3 = 6/10 + 6/100 + 6/1000 + 6/10000 + 6/100000 + ...
 
bowiem dodając pisemnie:
 
            0,6
            0,06
            0,006
        +   0,0006
            0,00006
            .
            .
            .                  
            0,6666666666...
 
widzimy tezę.

Czasami trudniej jest zobaczyć wynik dodawania:  
 
      1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + ...
 
(Równość można zobaczyć na rysunku obok.)

Wyraźnie podkreślmy:

Ani przy dzieleniu pisemnym, ani przy dodawaniu pisemnym, w żadnym momencie nie mieliśmy wyniku. Otrzymaliśmy wynik PO 'wykonaniu' nieskończonej operacji (dzielenia, czy dodawania), powstał tylko w 'umyśle'.

Dodawać będziemy wszystkie następujące liczby: 

, -,
, -, , -,
, -, , -, , -, , -,
, -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -,
, -, , -, , -, ... (16 dodatnich i 16 ujemnych) ...,
, -, , -, , -, ... (32 dodatnie i 32 ujemne) ...,
, -, , -, , -, ... (64 dodatnie i 64 ujemne) ...,
...

Najłatwiej jest je dodać, gdy dodawać będziemy tak, jak zostały wymienione:  
 

Widać, że po dodaniu wszystkich liczb otrzymujemy: 0. ZERO.

Gdy dodawać będziemy w trochę innej kolejności, to dzieją się 'dziwne rzeczy'. Patrz!

Widać, że TERAZ po dodaniu wszystkich liczb otrzymujemy: 1. JEDEN.

Gdy dodawać będziemy w jeszcze innej kolejności, na przykład takiej:

to otrzymamy 2. DWA.

A co przy dodawaniu w poniższej kolejności?

Tak, dobrze widzisz: 5/4. 

Nietrudno wymyślić kolejność dodawania, przy której otrzymamy 1/2. Wypisz 100 składników.

Trochę trudniej wymyślić kolejność dodawania, przy której otrzymamy 3/4. Wypisz 100 składników.

Podaj kolejność dodawania, przy której otrzymamy -1 (minus jeden!). Wypisz 100 składników.

Czy jest takie ustawienie, przy którym suma jest równa 1/3?

Tak. Trzeba ustawić składniki według następującego algorytmu:

  - jeśli suma dotychczas wybranych składników jest mniejsza od 1/3,
to wybierz pierwszą niewybraną dotychczas liczbę dodatnią,
 
  - jeśli suma dotychczas wybranych składników jest większa lub równa 1/3,
to wybierz pierwszą niewybraną dotychczas liczbę ujemną.

Gdy w miejsce 1/3 wpiszemy -17/13, to wygenerowane ustawienie da sumę równą właśnie -17/13.

Gdy w miejsce 1/3 wpiszemy , to wygenerowane ustawienie da sumę równą .

(Formalne uzasadnienie powyższych stwierdzeń niewiele się różni od zrozumienia działania powyższego algorytmu.)

Gdy przestawimy składniki następująco:

to 'na końcu' nie otrzymamy 'żadnej sumy'. Częściowe sumy będą 'biegać' od 0 do 1 i z powrotem, nieskończenie wiele razy. Zadziwiające?

Powyższe rozważania matematyka wyższa kwituje stwierdzeniem:

Twierdzenie (Riemanna).   Niech szereg a_n będzie zbieżny ale nie bezwzględnie zbieżny.
Wtedy dla dowolnej liczby c istnieje taka permutacja p wyrazów szeregu, że a_p(n) = c.
Istnieje też permutacja q wyrazów, przy której szereg a_q(n) jest rozbieżny.