Tekst ten jest przeznaczony w zasadzie dla widzów dorosłych.
Napis: 0,7272727272727272... jesteśmy przyzwyczajani, by traktować jak liczbę. Powstaje on na przykład przy dzieleniu pisemnym: 0,7272... 8 : 11 0 80 77 30 22 80 77 30 22 8 ... Uważamy więc, że napis ten reprezentuje tę samą liczbę co ułamek 8/11 (lub ułamek 16/22) : 0,7272727272727272... = 8/11 . Podobnie jest z: 0,666666... = 2/3 . Zgadzamy się też, że 2/3 = 6/10 + 6/100 + 6/1000 + 6/10000 + 6/100000 + ... bowiem dodając pisemnie: 0,6 0,06 0,006 + 0,0006 0,00006 . . . 0,6666666666... widzimy tezę.
Czasami trudniej jest zobaczyć wynik dodawania: 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + ... (Równość można zobaczyć na rysunku obok.)
Wyraźnie podkreślmy:
Ani przy dzieleniu pisemnym, ani przy dodawaniu pisemnym, w żadnym momencie nie mieliśmy wyniku. Otrzymaliśmy wynik PO 'wykonaniu' nieskończonej operacji (dzielenia, czy dodawania), powstał tylko w 'umyśle'.
Dodawać będziemy wszystkie następujące liczby:
, -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, , -, ... (16 dodatnich i 16 ujemnych) ..., , -, , -, , -, ... (32 dodatnie i 32 ujemne) ..., , -, , -, , -, ... (64 dodatnie i 64 ujemne) ..., ...
Najłatwiej jest je dodać, gdy dodawać będziemy tak, jak zostały wymienione:
Widać, że po dodaniu wszystkich liczb otrzymujemy: 0. ZERO.
Gdy dodawać będziemy w trochę innej kolejności, to dzieją się 'dziwne rzeczy'. Patrz!
Widać, że TERAZ po dodaniu wszystkich liczb otrzymujemy: 1. JEDEN.
Gdy dodawać będziemy w jeszcze innej kolejności, na przykład takiej:
to otrzymamy 2. DWA.
A co przy dodawaniu w poniższej kolejności?
Tak, dobrze widzisz: 5/4.
Nietrudno wymyślić kolejność dodawania, przy której otrzymamy 1/2. Wypisz 100 składników.
Trochę trudniej wymyślić kolejność dodawania, przy której otrzymamy 3/4. Wypisz 100 składników.
Podaj kolejność dodawania, przy której otrzymamy -1 (minus jeden!). Wypisz 100 składników.
Czy jest takie ustawienie, przy którym suma jest równa 1/3?
Tak. Trzeba ustawić składniki według następującego algorytmu:
- jeśli suma dotychczas wybranych składników jest mniejsza od 1/3, to wybierz pierwszą niewybraną dotychczas liczbę dodatnią, - jeśli suma dotychczas wybranych składników jest większa lub równa 1/3, to wybierz pierwszą niewybraną dotychczas liczbę ujemną.
Gdy w miejsce 1/3 wpiszemy -17/13, to wygenerowane ustawienie da sumę równą właśnie -17/13.
Gdy w miejsce 1/3 wpiszemy , to wygenerowane ustawienie da sumę równą .
(Formalne uzasadnienie powyższych stwierdzeń niewiele się różni od zrozumienia działania powyższego algorytmu.)
Gdy przestawimy składniki następująco:
to 'na końcu' nie otrzymamy 'żadnej sumy'. Częściowe sumy będą 'biegać' od 0 do 1 i z powrotem, nieskończenie wiele razy. Zadziwiające?
Powyższe rozważania matematyka wyższa kwituje stwierdzeniem:
Twierdzenie (Riemanna). Niech szereg an będzie zbieżny ale nie bezwzględnie zbieżny. Wtedy dla dowolnej liczby c istnieje taka permutacja p wyrazów szeregu, że ap(n) = c. Istnieje też permutacja q wyrazów, przy której szereg aq(n) jest rozbieżny.