Zapisz w postaci ułamka (niewłaściwego): $2+ \frac{1}{2} = ??? $ $3+ \frac{1}{3} = ??? $ $4+ {1 \over 4} = ??? $ $5+ {1 \ over 5} = ??? $ $6+ \frac{1}{6} = ??? $ Ogólnie mamy: $$ n + = $$ A jak to jest dla nienaturalnego $n$? Na przykład dla $\pi mamy:$ Ciekawiej jest dla $n=\sqrt{2}$; mianowicie: $$\sqrt2 + ??? =$$ CZY warto usuwać niewymierność z mianowsnika: $$\sqrt2 + = ???$$ Częsty bład przy zapisie pieriwstka z 25: $\sqrt25 = 5$. POPRAW to.
Dodawanie jest okropnie żmudne; oblicz: $\frac{1}{2}+{2 \over 3}+\frac{3}{4} = \frac{\ldots}{\ldots}$. Lepiej bedzie po kolei:
Dodawanie jest okropnie żmudne; oblicz: $\frac{1}{2}+{2 \over 3}+\frac{3}{4} = \frac{\ldots}{\ldots}$. Lepiej bedzie po kolei:
najpierw:
$$\frac{1}{2}+{2 \over 3}= ...$$
a potem dodam tylko $\frac{3}{4}$ i już:
$$\frac{1}{2}+{2 \over 3}+\frac{3}{4} = \frac\ldots}{\ldots}+\frac{3}{4} = \frac{\ldots}{\ldots}$$
Z mnożeniem jest lepiej, bo $\frac{1}{2} \cdot {2 \over 3} \cdot 3/4 = ??? $. A jak jest ogólnie (z kropeczkami \ldots ): $$ = $$ Uwaga. Duże PI daje szansę zapisać to BEZ kropek: $$ \prod_{k=1}^n k/k+1 = ???$$ DYGRESJA (na marginesie): ten sam napis w linii: $\prod_{k=1}^n k/k+1 = ???$. Jak zmusić LaTeXa, by w linii pisał tak samo, jak przy wzorze wystawionym? Można tak: $\prod\limits_{k=1}^n k/k+1 = ???$. A co tu $\prod\limits_k=1^n k/k+1 = ???$ się stało? Tyle dygresji. Jaki jest powód? Wystarczy zapisać np. dla $n=8$ WSZYSTKIE czynniki i... skreślać: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot\frac(}{} \cdot \frac{8){9}=\frac{1}{\not2} \cdot \frac{2}{3} \cdot\frac(}{} \cdot \frac{8){9}$$ CZY to jest powód, czy też dowód?
DYGRESJA 1. (na marginesie): napis w linii: $\prod_{k=1}^n k/k+1 = ???$ opatrzony PODWÓJNYMI dolarami wyglada inaczej: $$\prod_{k=1}^n k/k+1 = ???$$ Jak zmusić LaTeXa, by w linii pisał tak samo, jak przy wzorze wystawionym? Można tak: $\prod\limits_{k=1}^n k/k+1 = ???$. A co tu $\prod\limits_k=1^n k/k+1 = ???$ się stało? TAK. Jeśli indeks dolny nie jest jednym znakiem, to trzeba go scalić obejmująć nawiasami {}.
DYGRESJA 2. Inna notacja: $\prod\limits_{k=1}^n \frac{k}{k+1} = \prod\limits_{1\leq k\leq n} \frac{k}{k+1} $ co lepiej wygląda wyśrodkowane dwoma dolatrami: $$\prod\limits_{k=1}^n \frac{k}{k+1} = \prod\limits_{1\leq k\leq n} \frac{k}{k+1} $$ $$\prod\limits_{k=1}^n \frac{k}{k+1} = \prod\limits_{1\leq k\leq n} \frac{k}{k+1} =\prod\limits_{k \in [1,n] \cap N } \frac{k}{k+1} $$ Tyle dygresji 2.
Wróćmy do matematyki. Powyższe skreślanie już znasz; to już było przy zadaniu $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = ???$. KIEDY to było? Jak to leciało? ZAPISZ tu dowód albo powód.