[Poprawiaj. Uzupełniaj miejsca wykropkowane lub '???']
Dodawanie jest okropnie żmudne; oblicz: $\frac{1}{2}+{2 \over 3}+\frac{3}{4} = ...$.
Lepiej bedzie po kolei; najpierw: $$\frac{1}{2}+{2 \over 3}= ...$$ a potem dodam tylko $\frac{3}{4}$ i już: $$\frac{1}{2}+{2 \over 3}+\frac{3}{4} = ...+\frac{3}{4} = ...$$
Z mnożeniem jest lepiej, bo $\frac{1}{2} \cdot {2 \over 3} \cdot 3/4 = ??? $. A jak jest ogólnie (z kropeczkami ): $$ \ldots = ... $$ UWAGA. 'Duże PI' daje szansę zapisać to BEZ kropek: $$ \prod_{k=1}^n k/k+1 = ???$$ Powyżej JEST BLAD!
Można tak:
$\prod\limits_{k=1}^n k/k+1 = ???$.
A co tu $\prod\limits_k=1^n k/k+1 = ???$ się stało?
PORAW!
Tyle dygresji.
Jaki jest powód? Wystarczy zapisać np. dla $n=8$ WSZYSTKIE czynniki i... skreślać: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot ??? \cdot \frac{8}{9} $$ CZY to jest powód, czy też dowód?
DYGRESJA 1. (na marginesie): napis w linii: $\prod_{k=1}^n k/k+1 = ???$ opatrzony PODWÓJNYMI dolarami wyglada inaczej: $$\prod_{k=1}^n k/k+1 = ???$$ Jak zmusić LaTeXa, by w linii pisał tak samo, jak przy wzorze wystawionym? Można tak: $\prod\limits_{k=1}^n k/k+1 = ???$. A co tu $\prod\limits_k=1^n k/k+1 = ???$ się stało? TAK. Jeśli indeks dolny nie jest jednym znakiem, to trzeba go scalić obejmująć nawiasami {}.
DYGRESJA 2. Inna notacja: $\prod\limits_{k=1}^n \frac{k}{k+1} = \prod\limits_{1\leq k\leq n} \frac{k}{k+1} $ , co lepiej wygląda wyśrodkowane podwójnymi dolarami: $$\prod\limits_{k=1}^n \frac{k}{k+1} = \prod\limits_{1\leq k\leq n} \frac{k}{k+1} $$ $$\prod\limits_{k=1}^n \frac{k}{k+1} = \prod\limits_{1\leq k\leq n} \frac{k}{k+1} =\prod\limits_{k \in [1,n] \cap N } \frac{k}{k+1} $$ Tyle dygresji 2.
Wróćmy do matematyki. Powyższe skreślanie już znasz; to już było przy zadaniu $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = ???$. KIEDY to było? Jak to leciało? ZAPISZ tu dowód albo powód.