UWAGI (techniczne?).
W linii (w pojedyńczych dolarach) napis
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 $
wygla inaczej niż we wzorze wystawionym (w podwójnych dolarach):
$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = ??? $$
Można zmusić LaTeXa, by - pisząc w linii - drukował tak $ \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = ??? $,
co jednak nie wygląda ładnie (zdaniem wielu), szczególnie przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach,
przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach,
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = ??? $
przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach,
przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach,
przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach, przy wielolinijkowych akapitach,
Uwaga. ŁATWO pomylić lim z limits !
Uwaga. \limits można wstawić też przy innych operatorach;
np. szereg $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = ??? $ wygląda tak $ \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = ???$ po wstawieniu
\limits. Regułą jest, że w linii pierwsza forma jest typowa (właściwa?).
PRZYKŁADY.
[Zapisz nie tylko odpowiedzi, ale takie przekształcenia, które pozwolą nauczyć T wego korepetytanta.]
$$ \tag{1} \lim_{n \to +\infty} \frac{ 1-n }{ n +1 }= . . . $$
$$ \tag{2} \lim_{n \to +\infty} \frac{ 6n^2+5n+4 }{ 3n^2+2n+1 }= . . . $$
$$ \tag{3} \lim_{n \to +\infty} \frac{ 6n^3+5 }{ (3n^2+1)^2 }= . . . $$
$$ \tag{4} \lim_{n \to +\infty} \frac{ (6n^2+\pi)^2 }{ \left( 3n+\frac{1}{2} \right) ^3 }= . . . $$
$$ ??? $$
$$ ??? $$
$$ ??? $$
$$ ??? $$
[Podaj nieco tudniejsze takie dalsze przykłady, by nauczyć Swego korepetytanta TEGO typu zadań.]
W razie kłopotów może Ci pomóc np. wujek Wolfram
>>>
Sformułuj twierdzenie, które uogólnia przykłady (1)--(4)
TWIERDZENIE (twierdzonko?)
Ciąg
$$a_n=\frac{???}{???}$$
gdzie $ ??? \neq 0$,
ma granicę równą $0$, gdy $???$,
ma granicę równą $???$, gdy $???$,
jest rozbieżny do $+\infty$, gdy $???$,
jest rozbieżny do $-\infty$, gdy $???$.