Wskazówka do wskazówki. Czytać wskazówkę z prawa na lewo, bowiem
zadania 1150, 1149 sugerują, że całkowanie iloczynu 'takich' szeregów nie jest straszne.
ROZWIĄZANIE 1151.5
$\ \ \stylm \int\limits_0^{2\pi} {\sin x \cdot \sin 3x \over 5-4\cos x }dx = \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{2}{2\sin x \over 2^2+1-2\cdot 2\cos x }\cdot \sin 3x\;dx =$
$ \stylm \ \ = \frac{1}{2} \int\limits_0^{2\pi} \left(\sum\limits_{n=1}^\infty {\sin n x \over 2^n }\right) \cdot \sin 3x\; dx =$
$ \stylm \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^\infty {\int_0^{2\pi} \sin n x \cdot \sin 3x\;dx \over 2^n } =$
tu całki w licznikach są równe $0$, z wyjątkiem $n=3$ (wtedy całka jest równa $\pi$); skąd mamy
Uwaga. Powinna wzbudzić niepokój powyższa 'żonglerka' symbolami: $\int \sum\limits^\infty ...\stackrel{?}{=}\sum\limits^\infty\int...$, w szczególności, że wężyk jest nad sigmą!
Tu ograniczmy się do... wyrażenia zaniepokojenia.
Niech $f$ będzie okresowa o okresie $ \stylm \frac{2\pi}{5}$, tzn. $\stylm f(x)=f{\big(}x+k\frac{2\pi}{5}{\big)}$, dla $k\in\ZZ,\;x\in\RR$.
Rozważmy funkcję $ \stylm \ g(x):=f(\frac{x}{5})$ . Ma ona okres $2\pi$, bowiem $\stylm g(x+k2\pi)=f{\big(}\frac{x+k2\pi}{5}{\big)}=f{\big(}\frac{x}{5}+k\frac{2\pi}{5}{\big)}=f{\big(}\frac{x}{5}{\big)}=g(x).$
Niech $\ g(x)=\hat{a}_0+\sum\limits_{m=1}^\infty \hat{a}_m\cos mx+ \hat{b}_m\sin mx\stylm \ $ oznacza jej szereg Fouriera (współczynniki oznaczamy z 'daszkami').
(Z pomocą tego szeregu znajdziemy $a_k,\; b_k$ współczynniki szeregu Fouriera dla $f$.) Wstawmy $5x$ w miejsce $x$; mamy
$\ g(5x)=\hat{a}_0+\sum\limits_{m=1}^\infty \hat{a}_m\cos m5x+ \hat{b}_m\sin m5x$.
Stąd (bo oczywiście $g(5x)=f(\frac{5x}{5})=f(x)$) $\ f(x)= \hat{a}_0+\sum\limits_{m=1}^\infty \hat{a}_m\cos (5m)x+ \hat{b}_m\sin (5m)x $
czyli $f$ ma współczynniki w swym szeregu Fouriera równe:
$a_k=\hat{a}_{k{/}5},\; b_k=\hat{b}_{k{/}5}$, dla $k$ podzielnych przez 5 oraz 0 dla pozostałych.