$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\CC{\mathbb{C}} \def\QQ{\mathbb{Q}} \def\dint{\mathop{\int\!\!\int}} \def\tint{\mathop{\int\!\!\int\!\!\int}} \def\rot{\hbox{rot\hskip2truept }} \def\div{\hbox{div\hskip2truept }} \def\grad{\hbox{grad\hskip2truept }} \def\zad#1{\noindent {\bf #1. }} \def\zadp#1{\mbox{\hspace{1em} {\bf #1) }}} \def\zadpa{\zadp{a} } \def\zadpb{\zadp{b} } \def\zadpc{\zadp{c} } \def\zadpd{\zadp{d} } \def\stylm{\displaystyle } $

Konsultacje: AM2 .  Pewne szeregi

Poniższe zadania są trudniejsze od zadań 1009-1012 z Listy 21 >>> autorstwa Jarosława Wróblewskiego.
Przedstawiam trudniejsze zadanie, mając nadzieję, że dzięki pewnej ogólności lepiej będzie widać ideę.
Uwaga. Ta tematyka nie jest w główmym nurcie wykładu (ważniejsze są inne zagadnienia).
Nie powinna być studiowana przed opanowaniem podstawowych zagadnień (opanowanie $\approx$ uzyskanie już co najmniej oceny 3,5 z kolokwiów).
 

ZADANIE 1.
Niech $A,B,C> 0$. Rozważmy wszystkie ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ takie, że
      (*)     $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;3}=A,\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n^{\;6}=B, \ \ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^{\;4}=C\ \ $ oraz $\ \ a_n,b_n,c_n>0$.
Wyznacz $S$ = kres górny sum szeregów $\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;2}\ \ $ utworzonych z ciągów spełniających (*).

PRZYKŁAD (O). ciagów $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ o własności (*)
Zacznijmy od ZŁEGO przykładu: $\ a_1=\sqrt[\scriptstyle 3]{A}, \ b_1=\sqrt[\scriptstyle 6]{B}, \ c_1=\sqrt[\scriptstyle 4]{C}, \ $ oraz $\ a_n=b_n=c_n=0, \ $ dla $n\geq2.$
Jest ZŁY, bo są w nich wyrazy równe 0.

Dobry przykład: $\ \stylm \hat{a}_n=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A}{2^n}}, $ $\ \stylm \hat{b}_n=\sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B}{2^n}}, $ $\ \stylm \hat{c}_n=$ $\stylm\sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C}{2^n}}\ $.     Oczywiście mają wyrazy dodatnie.
Ponadto:     $\stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;3}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{A}{2^n}=A,\ $ (bo to jest suma postępu geometrycznego ) i podobnie $\stylm \ \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{b}_n^{\;6}=B\ $ oraz $\ \stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{c}_n^{\;4}=C,$
czyli ciągi te mają własność (*).

Obliczmy:
    (O)     $\stylm \sum_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;1}\hat{b}_n^{\;1}\hat{c}_n^{\;2} \ = \ \sum_{n=1}^\infty \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A}{2^n}}^1\cdot \sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B}{2^n}}^1 \cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C}{2^n}}^2 = \sum_{n=1}^\infty\frac{A^{\frac{1}{3}} B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}}{2^{n{/}3}\cdot2^{n{/}6}\cdot2^{n{/}2}} = $ $\stylm\sum_{n=1}^\infty\frac{A^{\frac{1}{3}} B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}}{2^n} = A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.\ $

Ten przykład pozwala stwierdzić tylko(aż?), że szukany kres górny $\ S\geq A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.$

Ciekawostka: dla ZłEGO przykładu też mamy: $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;2}= A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}$.

 
ROZWIĄZANIE   bazujące na nierówności między średnimi w wersji (nieco) ogólniejszej:
    (J1)     $\stylm x_1^{\alpha}\cdot x_2^{\beta}\cdot x_3^{\gamma} \leq \alpha\cdot x_1+\beta\cdot x_2+\gamma\cdot x_3,\ $ dla $x_1, x_2,x_3 >0\;$ i nieujemnych $\alpha,\beta, \gamma$ o sumie $\alpha+\beta+\gamma=1$.
    (J2)     gdy $x_1=x_2= x_3$, to w (J1) zachodzi równość.

Krok 1.     Rozważmy trzy szczególne ciągi ( te same, co PRZYKŁADZIE (0) ):
$\ \stylm \hat{a}_n=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A}{2^n}}, $ $\ \stylm \hat{b}_n=\sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B}{2^n}}, $ $\ \stylm \hat{c}_n=$ $\stylm\sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C}{2^n}}\ $.     Oczywiście mają wyrazy dodatnie.
Ponadto:     $\stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;3}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{A}{2^n}=A,\ $ (bo to jest suma postępu geometrycznego ) i podobnie $\stylm \ \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{b}_n^{\;6}=B\ $ oraz $\ \stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{c}_n^{\;4}=C,$
czyli ciągi te mają własność (*).

Obliczmy:
    (1.1)     $\stylm \sum_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;1}\hat{b}_n^{\;1}\hat{c}_n^{\;2} \ = \ \sum_{n=1}^\infty \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A}{2^n}}^1\cdot \sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B}{2^n}}^1 \cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C}{2^n}}^2 = \sum_{n=1}^\infty\frac{A^{\frac{1}{3}} B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}}{2^{n{/}3}\cdot2^{n{/}6}\cdot2^{n{/}2}} = $ $\stylm\sum_{n=1}^\infty\frac{A^{\frac{1}{3}} B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}}{2^n} = A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.\ $

Ten przykład pozwala stwierdzić, że szukany kres górny $\ S\geq A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.$
 

Niech dalej ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ mają własność (*).

Krok 2.    
Najpierw zauważmy, że sumy szegów: $ \ \sum\limits_{n=1}^\infty {\Big(}\frac{a_n}{A^{1{/}3}}{\Big)}^3 , \ \sum\limits_{n=1}^\infty {\Big(}\frac{b_n}{B^{1{/}6}}{\Big)}^6, \ \sum\limits_{n=1}^\infty {\Big(}\frac{c_n}{C^{1{/}4}}{\Big)}^4\ $ są równe 1.
      Uwaga. Gdy podobnie zrobić w Kroku 1, to równe będą nie tylko sumy ale i odpowiednie wyrazy.
                    ( To daje mglistą nadzieję, na użycie (J2), czyli na równość w (J1),
                      czyli na najbardziej 'oszczędne' oszacowanie
)

Nietrudno zgadnąć, że dla $\alpha=\frac{1}{3},\beta=\frac{1}{6},\gamma=\frac{1}{2}$ mamy $\alpha+\beta+\gamma=1$ oraz
        $\ \stylm {\Big(}\frac{a_n}{A^{1{/}3}}{\Big)}^{1} {\Big(}\frac{b_n}{B^{1{/}6}}{\Big)^1} {\Big(} \frac{c_n}{C^{1{/}4}} {\Big)}^2 = {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)}^{\alpha} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)}^\beta {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)}^\gamma ,\ \ $ dla każdego $n.\ $ ( Motywację widać w poniższym (2.1), (2.2), (2.3). )
 
Zatem mamy: $\ \ \stylm \frac{1}{A^{1{/}3} B^{1{/}6} C^{1{/}2}} \cdot a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;2} = {\Big(}\frac{a_n}{A^{1{/}3}}{\Big)}^{1} {\Big(}\frac{b_n}{B^{1{/}6}}{\Big)^1} {\Big(} \frac{c_n}{C^{1{/}4}} {\Big)}^2 = {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)}^{1{/}3} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)}^{1{/}6} {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)}^{1{/}2} ,\ \ $ dla każdego $n$.

Korzystając z (J1) dostajemy:
    (2.1)     $\stylm {\Big(}\frac{a_n}{A^{1{/}3}}{\Big)}^{1} {\Big(}\frac{b_n}{B^{1{/}6}}{\Big)^1} {\Big(} \frac{c_n}{C^{1{/}4}} {\Big)}^2 = {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)}^{1{/}3} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)}^{1{/}6} {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)}^{1{/}2} \ \leq \ \frac{1}{3} {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)} + \frac{1}{6} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)} + \frac{1}{2} {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)} ,\ \ $ dla każdego $n$
i dodając nierówności stronami uzyskujemy
    (2.2)     $\stylm \sum_{n=1}^\infty {\Big(}\frac{a_n}{A^{1{/}3}}{\Big)}^{1} {\Big(}\frac{b_n}{B^{1{/}6}}{\Big)^1} {\Big(} \frac{c_n}{C^{1{/}4}} {\Big)}^2 \leq \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3} {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)} + \frac{1}{6} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)} + \frac{1}{2} {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)} =$ $\stylm 1.\ \ $ (Tak, JEDEN. Sprawdź!)

Mnożąc stronami przez $ A^{1{/}3} B^{1{/}6}C^{1{/}2}$ uzyskujemy oszacowanie
    (2.3)     $\stylm \sum_{n=1}^\infty a_n^{\:1}b_n^{\:1}c_n^{\:2} \ \leq \ A^{1{/}3} B^{1{/}6}C^{1{/}2}.\ \ $

Z (2.3) wynika, że $S$ $\stylm \leq A^{1{/}3} B^{1{/}6}A^{1{/}2}.\ \ $
W kroku 1 w (1.1) pokazaliśmy nierówność $\ S\geq A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.$
Zatem otrzymujemy
 
Odpowiedź: $\ S=A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.$

Ufff! TO JUŻ KONIEC!
 
 

ZADANIE 2.
Niech $A,B,C> 0$. Rozważmy wszystkie ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ takie, że
      (**)     $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;3}=A,\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n^{\;6}=B, \ \ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^{\;4}=C\ \ $ oraz $\ \ a_n,b_n,c_n>0$.
Wyznacz $S$ = kres górny sum szeregów $\color{red} \ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;1}\ \ $ utworzonych z ciągów spełniających (**).

WSKAZÓWKA 1.
Odpowiedź: $\ S=+\infty$.
 
WSKAZÓWKA 2.
Zmodyfikuj ciągi $\ (\hat{a}_n), (\hat{b}_n), (\hat{c}_n)\ $ z PRZYKŁAD (0) z Zadania 1.
Zamiast $2^n$ w mianownikach wstaw $n^p$, $n^r$, $n^s$ dla ODPOWIEDNIO dobranych $p,q,r,\ $ (niekoniecznie całkowitych!).
Można przyjąć oznaczenie $\ R(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty \stylm\frac{1}{n^s}, \ \ $ dla $s\in(1,+\infty) $.
 
 

ZADANIE 3.
Niech $A,B,C> 0$. Rozważmy wszystkie ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ takie, że
      (***)     $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;3}=A,\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n^{\;6}=B, \ \ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^{\;4}=C\ \ $ oraz $\ \ a_n,b_n,c_n>0$.
Niech $S$ oznacza kres górny sum szeregów $\color{blue} \ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;3}\ \ $ utworzonych z ciągów spełniających (***). Czy $S$ jest równe $+\infty$ ?

WSKAZÓWKA 1.
Odpowiedź: Nie.
 
 

ZADANIE 4.
Niech $A,B,C> 0$. Rozważmy wszystkie ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ takie, że
      (****)     $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;3}=A,\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n^{\;6}=B, \ \ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^{\;4}=C\ \ $ oraz $\ \ a_n,b_n,c_n>0$.
Wyznacz $S$ = kres górny sum szeregów $\color{green} \ \sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt{a_n}\:b_n^{\;2}c_n^{\;2}\ \ $ utworzonych z ciągów spełniających (****).

WSKAZÓWKA 1.
To jest niemal to samo zadanie co pierwsze.