$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\CC{\mathbb{C}} \def\QQ{\mathbb{Q}} \def\dint{\mathop{\int\!\!\int}} \def\tint{\mathop{\int\!\!\int\!\!\int}} \def\rot{\hbox{rot\hskip2truept }} \def\div{\hbox{div\hskip2truept }} \def\grad{\hbox{grad\hskip2truept }} \def\zad#1{\noindent {\bf #1. }} \def\zadp#1{\mbox{\hspace{1em} {\bf #1) }}} \def\zadpa{\zadp{a} } \def\zadpb{\zadp{b} } \def\zadpc{\zadp{c} } \def\zadpd{\zadp{d} } \def\stylm{\displaystyle } $

Konsultacje: AM2.   Pewne szeregi

Poniższe zadania są podobne do zadań 1092-1095 z Listy 25 >>> autorstwa Jarosława Wróblewskiego.
Są nieco trudniejsze; mam nadzieję, że dzięki pewnej ogólności lepiej będzie widać główny pomysł. (K.O.)

 

ZADANIE 1.
Niech $A,B,C> 0$. Rozważmy wszystkie ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ takie, że
      (*)     $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;3}=A,\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n^{\;6}=B, \ \ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^{\;4}=C\ \ $ oraz $\ \ a_n,b_n,c_n>0$.
Wyznacz $S$ = kres górny sum szeregów $\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;2}\ \ $ utworzonych z ciągów spełniających (*).

PRZYKŁAD (O). ciagów $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ o własności (*)
Zacznijmy od ZŁEGO przykładu: $\ a_1=\sqrt[\scriptstyle 3]{A}, \ b_1=\sqrt[\scriptstyle 6]{B}, \ c_1=\sqrt[\scriptstyle 4]{C}, \ $ oraz $\ a_n=b_n=c_n=0, \ $ dla $n\geq2.$
Jest ZŁY, bo są w nich wyrazy równe 0.

Dobry przykład: $\ \stylm \hat{a}_n=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A}{2^n}}, $ $\ \stylm \hat{b}_n=\sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B}{2^n}}, $ $\ \stylm \hat{c}_n=$ $\stylm\sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C}{2^n}}\ $.     Oczywiście mają wyrazy dodatnie.
Ponadto:     $\stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;3}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{A}{2^n}=A,\ $ (bo to jest suma postępu geometrycznego ) i podobnie $\stylm \ \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{b}_n^{\;6}=B\ $ oraz $\ \stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{c}_n^{\;4}=C,$
czyli ciągi te mają własność (*).

Obliczmy:
    (O)     $\stylm \sum_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;1}\hat{b}_n^{\;1}\hat{c}_n^{\;2} \ = \ \sum_{n=1}^\infty \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A}{2^n}}^1\cdot \sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B}{2^n}}^1 \cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C}{2^n}}^2 = \sum_{n=1}^\infty\frac{A^{\frac{1}{3}} B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}}{2^{n{/}3}\cdot2^{n{/}6}\cdot2^{n{/}2}} = $ $\stylm\sum_{n=1}^\infty\frac{A^{\frac{1}{3}} B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}}{2^n} = A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.\ $

Ten przykład pozwala stwierdzić tylko(aż?), że szukany kres górny $\ S\geq A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.$

Ciekawostka: dla ZłEGO przykładu też mamy: $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;2}= A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}$.

 
ROZWIĄZANIE   bazujące na nierówności między średnimi w wersji (nieco) ogólniejszej:
    (J1)     $\stylm x_1^{\alpha}\cdot x_2^{\beta}\cdot x_3^{\gamma} \leq \alpha\cdot x_1+\beta\cdot x_2+\gamma\cdot x_3,\ $ dla $x_1, x_2,x_3 >0\;$ i nieujemnych $\alpha,\beta, \gamma$ o sumie $\alpha+\beta+\gamma=1$.
    (J2)     gdy $x_1=x_2= x_3$, to w (J1) zachodzi równość.

Krok 1.     Rozważmy szczególne ciągi ( te same, co PRZYKŁADZIE (0) ):
$\ \stylm \hat{a}_n=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A}{2^n}}, $ $\ \stylm \hat{b}_n=\sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B}{2^n}}, $ $\ \stylm \hat{c}_n=$ $\stylm\sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C}{2^n}}\ $.     Oczywiście mają wyrazy dodatnie.
Ponadto:     $\stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;3}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{A}{2^n}=A,\ $ (bo to jest suma postępu geometrycznego ) i podobnie $\stylm \ \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{b}_n^{\;6}=B\ $ oraz $\ \stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{c}_n^{\;4}=C,$
czyli ciągi te mają własność (*).

Obliczmy:
    (1.1)     $\stylm \sum_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;1}\hat{b}_n^{\;1}\hat{c}_n^{\;2} \ = \ \sum_{n=1}^\infty \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A}{2^n}}^1\cdot \sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B}{2^n}}^1 \cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C}{2^n}}^2 = \sum_{n=1}^\infty\frac{A^{\frac{1}{3}} B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}}{2^{n{/}3}\cdot2^{n{/}6}\cdot2^{n{/}2}} = $ $\stylm\sum_{n=1}^\infty\frac{A^{\frac{1}{3}} B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}}{2^n} = A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.\ $

Ten przykład pozwala stwierdzić, że szukany kres górny $\ S\geq A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.$
 

Niech dalej ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ mają własność (*).

Krok 2.    
Najpierw zauważmy, że sumy szegów: $ \ \sum\limits_{n=1}^\infty {\Big(}\frac{a_n}{A^{1{/}3}}{\Big)}^3 , \ \sum\limits_{n=1}^\infty {\Big(}\frac{b_n}{B^{1{/}6}}{\Big)}^6, \ \sum\limits_{n=1}^\infty {\Big(}\frac{c_n}{C^{1{/}4}}{\Big)}^4\ $ są równe 1.
      Uwaga. Gdy podobnie zrobić w Kroku 1, to równe będą nie tylko sumy ale i odpowiednie wyrazy.
                    ( To daje mglistą nadzieję, na użycie (J2), czyli na równość w (J1),
                      czyli na najbardziej 'oszczędne' oszacowanie )

Nietrudno zgadnąć, że dla $\alpha=\frac{1}{3},\beta=\frac{1}{6},\gamma=\frac{1}{2}$ mamy $\alpha+\beta+\gamma=1$ oraz
        $\ \stylm {\Big(}\frac{a_n}{A^{1{/}3}}{\Big)}^{1} {\Big(}\frac{b_n}{B^{1{/}6}}{\Big)^1} {\Big(} \frac{c_n}{C^{1{/}4}} {\Big)}^2 = {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)}^{\alpha} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)}^\beta {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)}^\gamma ,\ \ $ dla każdego $n.\ $ ( Motywację widać w poniższym (2.1), (2.2), (2.3). )
 
Czyli: $\ \ \stylm \frac{1}{A^{1{/}3} B^{1{/}6} C^{1{/}2}} \cdot a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;2} = {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)}^{1{/}3} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)}^{1{/}6} {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)}^{1{/}2} ,\ \ $ dla każdego $n$.

Korzystając z (J1) dostajemy:
    (2.1)     $\stylm \frac{1}{A^{1{/}3} B^{1{/}6} C^{1{/}2}} \cdot a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;2} = {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)}^{1{/}3} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)}^{1{/}6} {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)}^{1{/}2} \ \leq \ \frac{1}{3} {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)} + \frac{1}{6} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)} + \frac{1}{2} {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)} ,\ \ $ dla każdego $n$
i dodając nierówności stronami uzyskujemy
    (2.2)     $\stylm \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{A^{1{/}3} B^{1{/}6} C^{1{/}2}} \cdot a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;2} \leq \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3} {\Big(}\frac{a_n^3}{A}{\Big)} + \frac{1}{6} {\Big(}\frac{b_n^6}{B}{\Big)} + \frac{1}{2} {\Big(} \frac{c_n^4}{C} {\Big)} =$ $\stylm 1.\ \ $ (Tak, JEDEN. Sprawdź!)

Mnożąc stronami przez $ A^{1{/}3} B^{1{/}6}C^{1{/}2}$ uzyskujemy oszacowanie
    (2.3)     $\stylm \sum_{n=1}^\infty a_n^{\:1}b_n^{\:1}c_n^{\:2} \ \leq \ A^{1{/}3} B^{1{/}6}C^{1{/}2}.\ \ $

Z (2.3) wynika, że $S$ $\stylm \leq A^{1{/}3} B^{1{/}6}C^{1{/}2}.\ \ $

W kroku 1 w (1.1) pokazaliśmy nierówność $\ S\geq A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.$
Zatem otrzymujemy

Odpowiedź: $\ S=A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}}.$       Ufff! TO JUŻ KONIEC!
 
 

ZADANIE 2.
Niech $A,B,C> 0$. Rozważmy wszystkie ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ takie, że
      (**)     $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;3}=A,\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n^{\;6}=B, \ \ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^{\;4}=C\ \ $ oraz $\ \ a_n,b_n,c_n>0$.
Wyznacz $S$ = kres górny sum szeregów $\color{red} \ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;1}\ \ $ utworzonych z ciągów spełniających (**).

WSKAZÓWKA 1.
Odpowiedź: $\ S=+\infty$.
Co więcej:
istnieją takie ciągi $(\hat{a}_n),\; (\hat{b}_n)\;(\hat{c}_n)$ mające własność (**), że $\ \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;1}\hat{b}_n^{\;1}\hat{c}_n^{\;1} = +\infty.$
 
WSKAZÓWKA 2.
Zmodyfikujemy ciągi $\ (\hat{a}_n), (\hat{b}_n), (\hat{c}_n)\ $ z PRZYKŁAD (0) z Zadania 1:
Dla (ustalonego) $s <1$ niech $R(s)$ oznacza sumę szeregu $\ \sum\limits_{n=1}^\infty \stylm\frac{1}{n^s} $.
Określamy: $\ \stylm\hat{a}_n=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A{/}R(s)}{n^s}}, $ $\ \stylm \hat{b}_n=\sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B{/}R(s)}{n^s}}, $ $\ \stylm \hat{c}_n=\sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C{/}R(s)}{n^s}}.$
Łatwo sprawdzić, że ciągi $\ (\hat{a}_n), (\hat{b}_n), (\hat{c}_n)\ $ mają własność (**).   SPRAWDŹ!
 
Obliczmy: $\ \stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;1}\hat{b}_n^{\;1}\hat{c}_n^{\;1} = \sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{A{/}R(s)}{n^s}}\cdot \sqrt[\scriptstyle 6]{\frac{B{/}R(s)}{n^s}}\cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{C{/}R(s)}{n^s}}=$ $\stylm {A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}}C^{\frac{1}{4}} \over R(s)^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}}} \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty $$\stylm{1\over n^{\frac{s}{3}+\frac{s}{6}+\frac{s}{4}}}$ .
 
Zatem dla $\stylm s=$$\stylm\frac{4}{3} $ mamy: $\ \stylm \sum\limits_{n=1}^\infty \hat{a}_n^{\;1}\hat{b}_n^{\;1}\hat{c}_n^{\;1} =$ $\stylm \mbox{stala}\cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} $ $\stylm\frac{1}{n} =+\infty$ .
 
 

ZADANIE 3.
Niech $A,B,C> 0$. Rozważmy wszystkie ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ takie, że
      (***)     $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;3}=A,\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n^{\;6}=B, \ \ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^{\;4}=C\ \ $ oraz $\ \ a_n,b_n,c_n>0$.
Niech $S$ oznacza kres górny sum szeregów $\color{blue} \ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;1}b_n^{\;1}c_n^{\;3}\ \ $ utworzonych z ciągów spełniających (***). Czy $S$ jest równe $+\infty$ ?

WSKAZÓWKA 1.
Odpowiedź: Nie.
   
WSKAZÓWKA 2.
Zauważ, że:
    $\bullet$   $a_n\leq A,\ b_n\leq B,\ c_n\leq C$ ,
    $\bullet$   jeśli $M$ oznacza zbiór wyrazów ciągu $(c_n)$, które są większe od 1, to liczność $M\leq C$,
    $\bullet$   dla $n\in\NN\setminus M$ mamy $a_n b_n c_n^3\leq a_n b_n c_n^2 $ .
Zatem korzystając z zadania 1. mamy oszacowanie:
                $S\ \leq \ A^{\frac{1}{3}}B^{\frac{1}{6}} C^{\frac{1}{2}} + C\cdot ABC < +\infty$ .
 
 

ZADANIE 4.
Niech $A,B,C> 0$. Rozważmy wszystkie ciągi $\ (a_n),\;(b_n),\;(c_n)\ $ takie, że
      (****)     $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^{\;3}=A,\ \ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n^{\;6}=B, \ \ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^{\;4}=C\ \ $ oraz $\ \ a_n,b_n,c_n>0$.
Wyznacz $S$ = kres górny sum szeregów $\color{green} \ \sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt{a_n}\:b_n^{\;2}c_n^{\;2}\ \ $ utworzonych z ciągów spełniających (****).

WSKAZÓWKA 1.
To jest niemal to samo zadanie co pierwsze.