K.O. Konsultacje: AM2, zad. 1098, Lista 23 . (różnica szeregów potęgowych)
Omówię zadanie 1098 z Listy 23 >>> autorstwa Jarosława Wróblewskiego.
Celem zadania jest obliczenie sumy szeregu ∞∑m=1cm⋅xm dla x=1,
czyli sumy szeregu (liczbowego):
∞∑m=1cm=0⋅11+(11−0)⋅12+(0−11)⋅13+(12−0)⋅14+0⋅15+(13−12)⋅16+0⋅x7+(14−0)⋅18+(0−13)⋅19+(15−0)⋅110+…
Kluczowa obserwacja: ( jak nie widać, to może zapisz 'z kropeczkami...' )
(2.1) S6k=6k∑i=1ci=3k∑i=11i −2k∑i=11i=3k∑i=2k+11i=
12k+1+12k+2+12k+3+…+13k
Druga kluczowa obserwacja: można w ostatnim napisie dostrzec sumę Riemanna:
( całki z funkcji 1x )
(2.2) S6k=3k∑i=2k+11i=3k∑i=2k+11ik⋅1k ⟶k→∞
∫321xdx= ln32.
Uwaga.
To 'prawie koniec' rozwiązania; trzeba tylko uzasadnić, że
cały ciąg (Sm) ma tą samą granicę, co jego podciąg (S6k).
Przydatne będzie oszacowanie:
(2.3) |S6k+j−S6k|<13k dla j∈{0,1,2,3,4,5} i k∈N.
Aby uzasadnić (2,3) wystarczy przyglądnąć się wyrazom cm:
c6k=13k−12k, c6k+1=0, c6k+2=13k+1, c6k+3=−12k+1, c6k+4=13k+2, c6k+5=0
i sprawdzić, że największa z różnic w (2.3) jest równa |S6k+2−S6k|=13k+1 .