AM2, Lista 23, zad. 1098

K.O. Konsultacje: AM2, zad. 1098, Lista 23 . (różnica szeregów potęgowych)

ROZGRZEWKA (0). Powinno dać do myślenia:
Dlaczego w treści zadania podana jest definicja różnicy szeregów potęgowych?
Czyż nie jest to - jak dotychczas - po prostu szereg różnic kolejnych wyrazów?

Przy dodawaniu/odejmowaniu szeregów potęgowych można (i według powyższej definicji, trzeba)
traktować szereg potęgowy jak szereg, w którym wykładniki (zmiennej $x$) określają numer wyrazu;
brak w zapisie $x^{5}$ (i innych) należy rozumieć tak: piąty wyraz jest równy $0\!\cdot\!x^{5}$.
Zatem w różnicy tych szeregów potęgowych pierwszym wyrazem NIE JEST $(\frac{1}{1}\!\cdot\!x^{2}-\frac{1}{1}\!\cdot\!x^{3})$, lecz $(0-0)\!\cdot\!x^{1}\ $ (czyli 0).

Zatem zapiszmy 'z kropeczkami...' owe szeregi i ich różnicę (uwzględniając ominięte zera):
pierwszy:
$ \sum\limits_{n=1}^\infty {\stylm \frac{x^{2n}}{n}}=$ $0\!\cdot\! x^{1}+ \frac{1}{1}\!\cdot\! x^{2}+ 0\!\cdot\! x^{3}+ \frac{1}{2}\!\cdot\!x^{4}+ 0\!\cdot\! x^{5}+ \frac{1}{3}\!\cdot\!x^{6}+ 0\!\cdot\! x^{7}+ \frac{1}{4}\!\cdot\!x^{8}+ 0\!\cdot\! x^{9}+ \frac{1}{5}\!\cdot\!x^{10}+ \ldots $
drugi:
$ \sum\limits_{n=1}^\infty {\stylm \frac{x^{3n}}{n}}= 0\!\cdot\! x^{1}+ 0\!\cdot\! x^{2}+ \frac{1}{1}\!\cdot\! x^{3}+ 0\!\cdot\! x^{4}+ 0\!\cdot\! x^{5}+ \frac{1}{2}\!\cdot\!x^{6}+ 0\!\cdot\! x^{7}+ 0\!\cdot\! x^{8}+ \frac{1}{3}\!\cdot\!x^{9}+ \ldots $
i ich różnica:
$\sum\limits_{m=1}^\infty c_m\!\cdot\!x^{m} = %\stylm 0\!\cdot\! x^{1}+ (\frac{1}{1}\!-\!0)\!\cdot\! x^{2}+ (0\!-\!\frac{1}{1})\!\cdot\! x^{3}+ (\frac{1}{2}\!-\!0)\!\cdot\!x^{4}+ 0\!\cdot\! x^{5}+ (\frac{1}{3}\!-\!\frac{1}{2})\!\cdot\!x^{6}+ 0\!\cdot\! x^{7}+ (\frac{1}{4}\!-\!0)\!\cdot\!x^{8}+ (0\!-\!\frac{1}{3})\!\cdot\!x^{9}+ (\frac{1}{5}\!-\!0)\!\cdot\!x^{10}+ \ldots $

Zauważmy, że w 'zwykłej' różnicy, czyli w szeregu $\ \sum\limits_{n=1}^\infty { \stylm(\frac{x^{2n}}{n}\!-\!\frac{x^{3n}}{n}) } = (\frac{x^{2}}{1}\!-\!\frac{x^{3}}{1})+ (\frac{x^{4}}{2}\!-\!\frac{x^{6}}{2})+(\frac{x^{6}}{3}\!-\!\frac{x^{9}}{3})+\ldots\ $
gdy odpowiednio pozmieniamy kolejność wyrazów i inaczej wstawimy nawiasy (czyli potraktujemy szereg jak 'zwykłe' dodawanie ),
to otrzymamy dokładnie szereg $\ \sum\limits_{m=1}^\infty \stylm c_m\!\cdot\!x^{m}.$
Jednak takie operacje mogą zmieniać rezultat, czyli sumę szeregu (jak pokazują dużo prostsze przykłady,
np.: szereg $1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+\ldots$ jest rozbieżny,
a szereg $(1+(-1))+(1+(-1))+(1+(-1))+\ldots$ jest zbieżny (ma sumę 0) ).

Celem zadania jest obliczenie sumy szeregu $\ \sum\limits_{m=1}^\infty \stylm c_m\!\cdot\!x^{m}\ $ dla $x=1$, czyli sumy szeregu (liczbowego):
$ \sum\limits_{m=1}^\infty c_m = 0\!\cdot\! 1^{1}+ (\frac{1}{1}\!-\!0)\!\cdot\! 1^{2}+ (0\!-\!\frac{1}{1})\!\cdot\! 1^{3}+ (\frac{1}{2}\!-\!0)\!\cdot\!1^{4}+ 0\!\cdot\! 1^{5}+ (\frac{1}{3}\!-\!\frac{1}{2})\!\cdot\!1^{6}+ 0\!\cdot\! x^{7}+ (\frac{1}{4}\!-\!0)\!\cdot\!1^{8}+ (0\!-\!\frac{1}{3})\!\cdot\!1^{9}+ (\frac{1}{5}\!-\!0)\!\cdot\!1^{10}+ \ldots $

ROZWIĄZANIE (1) ( łatwe rachunkowo, ale trzeba zastosować niebanalne twierdzenia )
przy założeniu, że wiemy, że dla $x=1$ różnica owych szeregów potęgowych jest szeregiem zbieżnym.

Zauważmy, że:

(1.1) Szeregi $ \sum\limits_{n=1}^\infty \stylm \frac{x^{2n}}{n},\ $ $ \sum\limits_{n=1}^\infty \stylm \frac{x^{3n}}{n}$ mają promienie zbieżności równe 1.
(bowiem dla $k\in\{2,3\}$ mamy $\ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{|x|^{kn}}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|x|^{k}}{\sqrt[n]{n}}=|x|^k,\ $ skąd $\ |x|^k <1 \iff |x| < 1$ ).

Stąd wynika, że

(1.2) Dla $|x| < 1 $ szeregi $ \sum\limits_{n=1}^\infty \stylm \frac{x^{2n}}{n},\ $ $ \sum\limits_{n=1}^\infty \stylm \frac{x^{3n}}{n}$ i ich 'zwykła' różnica są bezwględnie zbieżne.

(1.3) Dla $|x| < 1 $ ich 'zwykła' różnica ma tą samą wartość, co różnica $ \sum\limits_{n=1}^\infty \stylm c_m\!\cdot\!x^m\ $ zdefiniowana w zadaniu.
(bowiem bezwględna zbieżność umożliwia traktowanie szeregu 'jak zwykłego dodawania').

(1.4) Dla $|x| < 1 $ mamy równości:
$ \sum\limits_{n=1}^\infty {\stylm \frac{x^{2n}}{n}}=\sum\limits_{n=1}^\infty {\stylm \frac{(x^2)^n}{n}} = -\ln(1-x^2),$
$ \sum\limits_{n=1}^\infty {\stylm \frac{x^{3n}}{n}}=\sum\limits_{n=1}^\infty {\stylm \frac{(x^3)^n}{n}} = -\ln(1-x^3)$
(bowiem na wykładzie podano: $ \sum\limits_{n=1}^\infty {\frac{s^{n}}{n}}= - \ln (1-s) \ $ dla $\ |s| < 1 $ ).

(1.5) Dla $|x| < 1 $ suma szeregu $\ \sum\limits_{m=1}^\infty {\stylm c_m\!\cdot\!x^m} \ $ jest równa $\ f(x):= \ln \frac{1+x+x^2}{1+x}$.
(bowiem ze znanych wzorów mamy $\ -\ln(1-x^2)-(- \ln (1-x^3)) = \ln \frac{1-x^3}{1-x^2}= \ln \frac{1+x+x^2}{1+x} \ $ ).

(1.6) Funkcja $f$ jest ciągła oraz $\ f(1)=\ln \frac{3}{2}$.

Znane (z wykładu) twierdzenie mówi:
jeśli we wnętrzu przedziału zbieżności szeregu potęgowego
jego suma $f(x)$ jest funkcją ciągłą w którymś z końców tego przedziału
oraz szereg jest w tym końcu zbieżny, to ma w tym końcu sumę równą wartości $f$.

Zatem mamy
Odpowiedź. Dla $x=1$ różnica danych w zadaniu szeregów potęgowych jest równa $\ln\frac{3}{2}.$

ROZWIĄZANIE (2). ( mało teorii, za to chytrości typu 'jak łatwo zauważyć' )

Celem zadania jest obliczenie sumy szeregu $ \sum\limits_{m=1}^\infty \stylm c_m\!\cdot\!x^{m}$ dla $x=1$, czyli sumy szeregu (liczbowego):
$ \sum\limits_{m=1}^\infty c_m = 0\!\cdot\! 1^{1}+ (\frac{1}{1}\!-\!0)\!\cdot\! 1^{2}+ (0\!-\!\frac{1}{1})\!\cdot\! 1^{3}+ (\frac{1}{2}\!-\!0)\!\cdot\!1^{4}+ 0\!\cdot\! 1^{5}+ (\frac{1}{3}\!-\!\frac{1}{2})\!\cdot\!1^{6}+ 0\!\cdot\! x^{7}+ (\frac{1}{4}\!-\!0)\!\cdot\!1^{8}+ (0\!-\!\frac{1}{3})\!\cdot\!1^{9}+ (\frac{1}{5}\!-\!0)\!\cdot\!1^{10}+ \ldots $
Uwaga. Nie wiemy, czy szereg jest zbieżny; widać, że nie jest bezwględnie zbieżny.
Kryterium Leibniza nie pomoże (bo ciąg $|c_m|$ nie jest monotoniczny ).
Jedyna nadzieja w zbadaniu ciągu sum częściowych
(bo wtedy można skorzystać z łączności i przemienności prawdziwego dodawania,
które - ogólnie - w szeregach nie obowiązuje).

Zbadajmy ciąg $S_m$ jego sum częściowych, czyli $S_m=\sum\limits_{i=1}^{m}c_i.\ \ $ ( Jego granica - o ile istnieje - jest odpowiedzią do zadania. )
Na początek ograniczymy się do jego podciągu $S_{6k}=\sum\limits_{i=1}^{6k}c_i,\ $ $k=1,2,3,\ldots$ ,
gdzie widać ile są równe (sporo się upraszcza, nieco podobnie, jak w szeregach teleskopowych ):

Kluczowa obserwacja: ( jak nie widać, to może zapisz 'z kropeczkami...' )

(2.1) $\stylm S_{6k}=\sum\limits_{i=1}^{6k}c_i= \sum\limits_{i=1}^{3k}\frac{1}{i}\ - \sum\limits_{i=1}^{2k}\frac{1}{i} = \sum\limits_{i=2k+1}^{3k}\frac{1}{i}= $ $\stylm \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{2k+3}+\ldots+\frac{1}{3k}\ \ $

Druga kluczowa obserwacja: można w ostatnim napisie dostrzec sumę Riemanna: ( całki z funkcji $\frac{1}{x}$ )

(2.2) $\stylm S_{6k} = \sum\limits_{i=2k+1}^{3k}\frac{1}{i}= \sum\limits_{i=2k+1}^{3k} \frac{1}{i \over k}\cdot \frac{1}{k}\ \ \ \mathop{\longrightarrow}_{k\to\infty} \ $ $\stylm \ \int_2^3\frac{1}{x}\:dx=$ $\stylm\ln \frac{3}{2}.\ \ $

     Uwaga. To 'prawie koniec' rozwiązania; trzeba tylko uzasadnić, że
          cały ciąg $(S_m)$ ma tą samą granicę, co jego podciąg $(S_{6k})$.

Przydatne będzie oszacowanie:

(2.3)    $\stylm |S_{6k+j}-S_{6k}| < \frac{1}{3k}\ $ dla $\ j\in\{0,1,2,3,4,5\}\ $ i $k\in\NN.$

Aby uzasadnić (2,3) wystarczy przyglądnąć się wyrazom $c_m$:

$\stylm c_{6k}=\frac{1}{3k}-\frac{1}{2k},\ c_{6k+1}=0,\ c_{6k+2}=\frac{1}{3k+1},\ c_{6k+3}=-\frac{1}{2k+1},\ c_{6k+4}=\frac{1}{3k+2},\ c_{6k+5}=0$

i sprawdzić, że największa z różnic w (2.3) jest równa $\stylm |S_{6k+2}-S_{6k}|=\frac{1}{3k+1}\ $.

Z (2.3) mamy oszacowanie:

(2.4) $\stylm S_{6[m{/}6]}-\frac{1}{3[m{/}6]} < S_m < S_{6[m{/}6]}+\frac{1}{3[m{/}6]} ,\ \ $ dla $\ m\in\NN,\ $ tu $[.]$ oznacza część całkowitą, czyli $6[m{/}6] \leq m\leq 6[m{/}6]+5 $

Stąd (i z twierdzenia o trzech ciągach) otrzymujemy

$\stylm \ \ \ \lim\limits_{m\to\infty} S_m= \ln\frac{3}{2}\ ,$

czyli

Odpowiedź. Dla $x=1$ różnica danych w zadaniu szeregów potęgowych jest równa $\stylm\ln\frac{3}{2}.$