Processing math: 100%

K.O. Konsultacje: AM2, zad. 1098, Lista 23 .  (różnica szeregów potęgowych)

Omówię zadanie 1098 z Listy 23 >>> autorstwa Jarosława Wróblewskiego.

ROZGRZEWKA (0).     Powinno dać do myślenia:
          Dlaczego w treści zadania podana jest definicja różnicy szeregów potęgowych?
          Czyż nie jest to - jak dotychczas - po prostu szereg różnic kolejnych wyrazów?


Przy dodawaniu/odejmowaniu szeregów potęgowych można (i według powyższej definicji, trzeba)
traktować szereg potęgowy jak szereg, w którym wykładniki (zmiennej x) określają numer wyrazu;
brak w zapisie x5 (i innych) należy rozumieć tak: piąty wyraz jest równy 0x5.
Zatem w różnicy tych szeregów potęgowych pierwszym wyrazem NIE JEST (11x211x3), lecz (00)x1  (czyli 0).
 
Zatem zapiszmy 'z kropeczkami...' owe szeregi i ich różnicę (uwzględniając ominięte zera):
  pierwszy:
      n=1x2nn= 0x1+11x2+0x3+12x4+0x5+13x6+0x7+14x8+0x9+15x10+
  drugi:
      n=1x3nn=0x1+0x2+11x3+0x4+0x5+12x6+0x7+0x8+13x9+
  i ich różnica:
      m=1cmxm=0x1+(110)x2+(011)x3+(120)x4+0x5+(1312)x6+0x7+(140)x8+(013)x9+(150)x10+
 
Zauważmy, że w 'zwykłej' różnicy, czyli w szeregu  n=1(x2nnx3nn)=(x21x31)+(x42x62)+(x63x93)+ 
gdy odpowiednio pozmieniamy kolejność wyrazów i inaczej wstawimy nawiasy (czyli potraktujemy szereg jak 'zwykłe' dodawanie ),
to otrzymamy dokładnie szereg  m=1cmxm.
Jednak takie operacje mogą zmieniać rezultat, czyli sumę szeregu (jak pokazują dużo prostsze przykłady,
np.: szereg 1+(1)+1+(1)+1+(1)+ jest rozbieżny,
a szereg (1+(1))+(1+(1))+(1+(1))+ jest zbieżny (ma sumę 0)
).

Celem zadania jest obliczenie sumy szeregu  m=1cmxm  dla x=1, czyli sumy szeregu (liczbowego):
    m=1cm=011+(110)12+(011)13+(120)14+015+(1312)16+0x7+(140)18+(013)19+(150)110+

 
ROZWIĄZANIE (1)   ( łatwe rachunkowo, ale trzeba zastosować niebanalne twierdzenia )
przy założeniu, że wiemy, że dla x=1 różnica owych szeregów potęgowych jest szeregiem zbieżnym.

Zauważmy, że:
  (1.1)   Szeregi n=1x2nn,  n=1x3nn mają promienie zbieżności równe 1.
(bowiem dla k{2,3} mamy  limnn|x|knn=limn|x|knn=|x|k,  skąd  |x|k<1|x|<1 ).
 
Stąd wynika, że
  (1.2)   Dla |x|<1 szeregi n=1x2nn,  n=1x3nn i ich 'zwykła' różnica są bezwględnie zbieżne.
 
  (1.3)   Dla |x|<1 ich 'zwykła' różnica ma tą samą wartość, co różnica n=1cmxm  zdefiniowana w zadaniu.
(bowiem bezwględna zbieżność umożliwia traktowanie szeregu 'jak zwykłego dodawania').
 
  (1.4)   Dla |x|<1 mamy równości:
            n=1x2nn=n=1(x2)nn=ln(1x2),
            n=1x3nn=n=1(x3)nn=ln(1x3)
(bowiem na wykładzie podano: n=1snn=ln(1s)  dla  |s|<1 ).
 
  (1.5)   Dla |x|<1 suma szeregu  m=1cmxm  jest równa  f(x):=ln1+x+x21+x.
(bowiem ze znanych wzorów mamy  ln(1x2)(ln(1x3))=ln1x31x2=ln1+x+x21+x  ).
 
  (1.6)   Funkcja f jest ciągła oraz  f(1)=ln32.
 
Znane (z wykładu) twierdzenie mówi:
      jeśli we wnętrzu przedziału zbieżności szeregu potęgowego
      jego suma f(x) jest funkcją ciągłą w którymś z końców tego przedziału
      oraz szereg jest w tym końcu zbieżny, to ma w tym końcu sumę równą wartości f.
 
Zatem mamy
Odpowiedź.   Dla x=1 różnica danych w zadaniu szeregów potęgowych jest równa ln32.
 
ROZWIĄZANIE (2).     ( mało teorii, za to chytrości typu 'jak łatwo zauważyć' )
Celem zadania jest obliczenie sumy szeregu m=1cmxm dla x=1, czyli sumy szeregu (liczbowego):
    m=1cm=011+(110)12+(011)13+(120)14+015+(1312)16+0x7+(140)18+(013)19+(150)110+
      Uwaga. Nie wiemy, czy szereg jest zbieżny; widać, że nie jest bezwględnie zbieżny.
      Kryterium Leibniza nie pomoże (bo ciąg |cm| nie jest monotoniczny ).
      Jedyna nadzieja w zbadaniu ciągu sum częściowych
      (bo wtedy można skorzystać z łączności i przemienności prawdziwego dodawania,
      które - ogólnie - w szeregach nie obowiązuje).

 
Zbadajmy ciąg Sm jego sum częściowych, czyli Sm=mi=1ci.   ( Jego granica - o ile istnieje - jest odpowiedzią do zadania. )
Na początek ograniczymy się do jego podciągu S6k=6ki=1ci,  k=1,2,3, ,
gdzie widać ile są równe (sporo się upraszcza, nieco podobnie, jak w szeregach teleskopowych ):

Kluczowa obserwacja:     ( jak nie widać, to może zapisz 'z kropeczkami...' )

    (2.1)    S6k=6ki=1ci=3ki=11i 2ki=11i=3ki=2k+11i= 12k+1+12k+2+12k+3++13k  

Druga kluczowa obserwacja: można w ostatnim napisie dostrzec sumę Riemanna:     ( całki z funkcji 1x )

    (2.2)    S6k=3ki=2k+11i=3ki=2k+11ik1k   k   321xdx= ln32.  

     Uwaga. To 'prawie koniec' rozwiązania; trzeba tylko uzasadnić, że
          cały ciąg (Sm) ma tą samą granicę, co jego podciąg (S6k).

 
Przydatne będzie oszacowanie:
 
    (2.3)    |S6k+jS6k|<13k  dla  j{0,1,2,3,4,5}  i kN.

  Aby uzasadnić (2,3) wystarczy przyglądnąć się wyrazom cm:
 
    c6k=13k12k, c6k+1=0, c6k+2=13k+1, c6k+3=12k+1, c6k+4=13k+2, c6k+5=0
 
i sprawdzić, że największa z różnic w (2.3) jest równa   |S6k+2S6k|=13k+1 .


Z (2.3) mamy oszacowanie:
 
    (2.4)    S6[m/6]13[m/6]<Sm<S6[m/6]+13[m/6],   dla  mN,  tu [.] oznacza część całkowitą, czyli 6[m/6]m6[m/6]+5
 
Stąd (i z twierdzenia o trzech ciągach) otrzymujemy
 
      limmSm=ln32 ,
 
czyli
 
Odpowiedź.   Dla x=1 różnica danych w zadaniu szeregów potęgowych jest równa ln32.