przed/po-mysły. $\ \ \bullet\ \ $ w pierwszej chwili wydaje się, że
każdy podpunkt wymaga próbowania DWÓCH rozumowań:
próby liczenia granicy i próby uzasadnienia jej braku $\ \ \bullet\ \ $ ALE nie do końca tak jest, bowiem
JEŚLI granica istnieje, TO jest równa 0, (bo
w każdym podpunkcie dla $x=\frac{1}{n},\ y=0$ otrzymujemy 0
). $\ \ \bullet\ \ $ Zatem mamy wykazać:
granica jest równa 0
albo
granica nie istnieje
Rozwiązanie zadania a) Oczywiście:
$\ \ (i)\ \ \ $ $|x|\leq (x^4+y^{10})^{1{/}4}$
$\ \ (ii)\ \ \ $ $|y|\leq (x^4+y^{10})^{1{/}}$$^{10}$ Stąd mamy oszacowanie licznika $x^3y^3$:
Ponieważ $\stylm \ \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^4+y^{10}}=0,\ $
więc prawa strona w (*) dąży do 0.
Zatem (z analogonu tw. o trzech ciągach) mamy tezę:
Uwagi do zadania a') Powtarzając rozumowanie z a) dostajemy:
$\ \ (i)\ \ \ $ $|x|\leq (x^4+y^{10})^{1{/}4}$
$\ \ (ii)\ \ \ $ $|y|\leq (x^4+y^{10})^{1{/}}$$^{10}$ Stąd mamy oszacowanie licznika $x^2y^4$:
Ponieważ $\stylm \ \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^4+y^{10}}=0,\ $
więc prawa strona w (**) dąży do $+\infty$.
TO nam NIC nie daje!!!
{ Dlaczego NIC? To tak, jakby mieć oszacowanie dla pewnego ciągu: $a_n\leq n^3$;
oszacowanie jest prawdziwe dla $a_n'=(-1)^n{/}n$ ORAZ dla $a_n''=n^2-1$. Nie rozstrzyga o zbieżności $a_n$.
}
C/oż począć? Spróbujmy 'z drugiej strony', tzn. spróbujmy pokazać, że granica nie istnieje.
Rozważmy takie szczególne pary $(x,y)$ zbieżne do $(0,0)$, że spełniają warunek $x^4=y^{10}.$
{ Skąd ten pomysł? Powiedzmy, że z... 'rękawa'. (Rozjaśni się po paru SAMODZIELNIE zrobionych przykładach . ) }
Czyli np. ciągi $\ x=({1\over n})^{10{/}4}, \ y={1\over n}$.
Wtedy takie $(x,y)$ są zbieżne do $(0,0)$, przy $n\to+\infty$ oraz
$\stylm {x^2\cdot y^4\over x^4+y^{10}}={\big{(}({1\over n})^{10{/}4}\big{)}^2\cdot ({1\over n})^{4}\over \big{(}({1\over n})^{10{/}4}\big{)}^4+({1\over n})^{10}}= { ({1\over n})^9\over 2 ({1\over n})^{10} }={n\over 2}\ \ \mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \ \ +\infty. $
{ Tu nie ma żadnego szacowania! Tu są równości. }
Zatem nie istnieje granica
$\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^2y^4 \over x^4+y^{10}}, \ \ $
zgodnie z definicją Heinego (ciągową). $\Box$
{ Tu PRZYKŁAD jest DOWODEM! (Uzasadnieniem braku granicy). }
Warto zrobić pozostałe podpunkty i NIEKTÓRE z poniższych podpunktów (podpunkty f) są ciekawe).
Uwaga. W kilku podpunktach można użyć znacznie prostszych oszacowań.
Pytacie 'W których?'. To jest właśnie trudność tych zadań.