Granice w (0,0)

$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\CC{\mathbb{C}} \def\QQ{\mathbb{Q}} \def\ZZ{\mathbb{Z}} \def\dint{\mathop{\int\!\!\int}} \def\tint{\mathop{\int\!\!\int\!\!\int}} \def\rot{\hbox{rot\hskip2truept }} \def\div{\hbox{div\hskip2truept }} \def\grad{\hbox{grad\hskip2truept }} \def\zad#1{\noindent {\bf #1. }} \def\zadp#1{\mbox{\hspace{1em} {\bf #1) }}} \def\zadpa{\zadp{a} } \def\zadpb{\zadp{b} } \def\zadpc{\zadp{c} } \def\zadpd{\zadp{d} } \def\stylm{\displaystyle } $

Zadanie G. Obliczyć wartość granicy albo wykazać, że ta granica nie istnieje:

a) $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^3y^3 \over x^4+y^{10}}$ a') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^2y^4 \over x^4+y^{10}}$ a'') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^4y \over x^4+y^{10}}$

b) $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^5y^5 \over x^8+y^{14}}$

c) $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^2y^3 \over x^4+y^{4}}$

^przed/_po-mysły.
$\ \ \bullet\ \ $ w pierwszej chwili wydaje się, że
każdy podpunkt wymaga próbowania DWÓCH rozumowań:
próby liczenia granicy i próby uzasadnienia jej braku
$\ \ \bullet\ \ $ ALE nie do końca tak jest, bowiem
JEŚLI granica istnieje, TO jest równa 0, (bo
w każdym podpunkcie dla $x=\frac{1}{n},\ y=0$ otrzymujemy 0 ).
$\ \ \bullet\ \ $ Zatem mamy wykazać:
granica jest równa 0
albo
granica nie istnieje

Rozwiązanie zadania a)
Oczywiście:
$\ \ (i)\ \ \ $ $|x|\leq (x^4+y^{10})^{1{/}4}$
$\ \ (ii)\ \ \ $ $|y|\leq (x^4+y^{10})^{1{/}}$$^{10}$
Stąd mamy oszacowanie licznika $x^3y^3$:

$\ \ (\star)\ \ \ $ $\stylm 0\leq \left| {x^3y^3\over x^4+y^{10}}\right| ={|x|^3|y|^3\over x^4+y^{10} } \leq {(x^4+y^{10})^{3{/}4}\cdot (x^4+y^{10})^{3{/}10} \over x^4+y^{10}} $ $= (x^4+y^{10})^{3{/}4+3{/}10-1} = (x^4+y^{10})^{1{/}20} . $

Ponieważ $\stylm \ \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^4+y^{10}}=0,\ $ więc prawa strona w (*) dąży do 0.
Zatem (z analogonu tw. o trzech ciągach) mamy tezę:

$\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^3y^3 \over x^4+y^{10}}=0 $ $\Box$

Uwagi do zadania a')
Powtarzając rozumowanie z a) dostajemy:
$\ \ (i)\ \ \ $ $|x|\leq (x^4+y^{10})^{1{/}4}$
$\ \ (ii)\ \ \ $ $|y|\leq (x^4+y^{10})^{1{/}}$$^{10}$
Stąd mamy oszacowanie licznika $x^2y^4$:

$\ \ (\star\star)\ \ \ $ $\stylm 0\leq \left| {x^2y^4\over x^4+y^{10}}\right| ={|x|^2|y|^4\over x^4+y^{10} } \leq {(x^4+y^{10})^{2{/}4}\cdot (x^4+y^{10})^{4{/}10} \over x^4+y^{10}} = (x^4+y^{10})^{2{/}4+4{/}10-1} = (x^4+y^{10})^{-1{/}10}= {1\over (x^4+y^{10})^{1{/}10}}. $

Ponieważ $\stylm \ \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^4+y^{10}}=0,\ $ więc prawa strona w (**) dąży do $+\infty$.
TO nam NIC nie daje!!!
{ Dlaczego NIC? To tak, jakby mieć oszacowanie dla pewnego ciągu: $a_n\leq n^3$;
oszacowanie jest prawdziwe dla $a_n'=(-1)^n{/}n$ ORAZ dla $a_n''=n^2-1$. Nie rozstrzyga o zbieżności $a_n$. }

C/oż począć? Spróbujmy 'z drugiej strony', tzn. spróbujmy pokazać, że granica nie istnieje.

Rozważmy takie szczególne pary $(x,y)$ zbieżne do $(0,0)$, że spełniają warunek $x^4=y^{10}.$
{ Skąd ten pomysł? Powiedzmy, że z... 'rękawa'. (Rozjaśni się po paru SAMODZIELNIE zrobionych przykładach . ) }
Czyli np. ciągi $\ x=({1\over n})^{10{/}4}, \ y={1\over n}$.
Wtedy takie $(x,y)$ są zbieżne do $(0,0)$, przy $n\to+\infty$ oraz

$\stylm {x^2\cdot y^4\over x^4+y^{10}}={\big{(}({1\over n})^{10{/}4}\big{)}^2\cdot ({1\over n})^{4}\over \big{(}({1\over n})^{10{/}4}\big{)}^4+({1\over n})^{10}}= { ({1\over n})^9\over 2 ({1\over n})^{10} }={n\over 2}\ \ \mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} \ \ +\infty. $
{ Tu nie ma żadnego szacowania! Tu są równości. }

Zatem nie istnieje granica $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^2y^4 \over x^4+y^{10}}, \ \ $ zgodnie z definicją Heinego (ciągową). $\Box$
{ Tu PRZYKŁAD jest DOWODEM! (Uzasadnieniem braku granicy). }

Warto zrobić pozostałe podpunkty i NIEKTÓRE z poniższych podpunktów (podpunkty f) są ciekawe).

Uwaga. W kilku podpunktach można użyć znacznie prostszych oszacowań.
Pytacie 'W których?'. To jest właśnie trudność tych zadań.

d) $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^2y^5 \over x^4+y^{10}}$

e') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^4y^7 \over x^8+y^{14}}$ e'') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^3y^8 \over x^8+y^{14}}$ e''') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^5y^6 \over x^8+y^{14}}$

f') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^2y^{15} \over x^8+y^{20}}$ f'') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^3y^{14} \over x^8+y^{20}}$ f''') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^1y^{16} \over x^8+y^{20}}$

h') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { \sqrt{|x|}^5\cdot y^{6} \over |x|^5+y^{12}}$ h'') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^2 \cdot |y|^{6{,}5} \over |x|^5+y^{12}} $ h''') $\stylm \lim\limits_{\scriptstyle x\to 0 \atop \scriptstyle y\to 0} { x^3\cdot |y|^{5{,}5} \over |x|^5+y^{12}} $