$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\CC{\mathbb{C}} \def\QQ{\mathbb{Q}} \def\ZZ{\mathbb{Z}} \def\dint{\mathop{\int\!\!\int}} \def\tint{\mathop{\int\!\!\int\!\!\int}} \def\rot{\hbox{rot\hskip2truept }} \def\div{\hbox{div\hskip2truept }} \def\grad{\hbox{grad\hskip2truept }} \def\zad#1{\noindent {\bf #1. }} \def\zadp#1{\mbox{\hspace{1em} {\bf #1) }}} \def\zadpa{\zadp{a} } \def\zadpb{\zadp{b} } \def\zadpc{\zadp{c} } \def\zadpd{\zadp{d} } \def\stylm{\displaystyle } \def\sumka#1{\sum\limits_{#1}^{\infty}} $

Od wzoru rekurencyjnego, do wzoru 'jawnego' poprzez funkcję tworzącą 

Zadanie 1.   Znaleźć 'jawny' wzór ciągu zadanego rekurencyjnie: $a_0=0,\ \ a_n=3 a_{n-1}+5^n,\ \mbox{ dla } n\geq 1$.

Rozwiązanie    
Krok I.   Najpierw znajdujemy funkcję tworzącą $f(x)$ (wykorzystując rekurencję + wzór na sumę postępu geometrycznego):
      $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n$ $=a_0+\sumka{n=1}(3a_{n-1}+5^n)\cdot x^n=$
   $=a_0+3\cdot\sumka{n=1}a_{n-1}\cdot x^n\ + \ \sumka{n=1}5^n\cdot x^n=$
   $=a_0+3x\cdot\sumka{n=1}a_{n-1}\cdot x^{n-1}\ + \ \sumka{n=1}(5x)^n=$   { O! To ostatnie jest znane!
       Suma postępu geometrycznego ( 'zapominamy' o warunku: $|5x| < 1$ ). }
   $=a_0+3x\cdot\sumka{k=0}a_{k}\cdot x^{k}\ + \ 5x\cdot{1\over 1-5x}=$   { O! Toż tu widać $f(x)$ . }
   $=0+3x\cdot f(x)\ + \ {5x\over 1-5x}.$

Stąd dostajemy   $f(x)=0+3x\cdot f(x)\ + \ {5x\over 1-5x},$    czyli     $f(x)\cdot(1-3x)={5x\over 1-5x}.$
   
Zatem funkcja tworząca jest opisana wzorem     $f(x)={5x\over (1-5x)\cdot(1-3x)}.$

Krok II.   Teraz rozkładamy funkcję tworzącą na ułamki proste    $f(x)={5x\over (1-5x)\cdot(1-3x)} = {A\over 1-5x}+{B \over 1-3x}$
{ Po co? By zobaczyć dwie sumy dwóch postępów geometrycznych o ilorazach: $(5x)$ oraz $(3x)$ }

Łatwo (choć żmudnie) liczymy:
        ${5x\over (1-5x)\cdot(1-3x)} \equiv {A(1-3x) +B(1-5x)\over (1-5x)\cdot(1-3x)}$
                        ${5x} \equiv {A(1-3x) +B(1-5x)}$
wstawiając $\ \ x=\frac{1}{5}\ $ obliczamy $\ \ A=...=\frac{5}{2}$;
wstawiając $\ \ x=\frac{1}{3}\ $ obliczamy $\ \ B=...=-\frac{5}{2}$;
skąd dostajemy:
                        $f(x)=\frac{5}{2}\cdot{1\over 1-5x}-\frac{5}{2}\cdot{1\over 1-3x} .$

Krok III.   Teraz funkcję tworzącą przedstawiamy w postaci (jednego) szeregu potęgowego:

                $f(x)=\frac{5}{2}\cdot{1\over 1-5x}-\frac{5}{2}\cdot{1\over 1-3x} =$
                        $=\frac{5}{2}\cdot\sumka{n=0}(5x)^n-\frac{5}{2}\cdot\sumka{n=0}(3x)^n =$
                        $=\frac{5}{2}\cdot\sumka{n=0}5^n\cdot x^n-\frac{5}{2}\cdot\sumka{n=0}3^n\cdot x^n =$
                        $=\sumka{n=0} \left( \frac{5}{2}\cdot 5^n\cdot x^n \ -\ \frac{5}{2}\cdot3^n\cdot x^n \right)= $
                        $=\sumka{n=0} \left( \frac{5}{2}\cdot 5^n \ - \ \frac{5}{2}\cdot 3^n \right)\cdot x^n.$
 

Krok IV. (deser)  Z (niebanalnego) twierdzenia wynika:
                  Równe szeregi potęgowe mają jednakowe wyrazy (przy tych samych potęgach $x^n$)

Zatem z równości       $f(x)=\sumka{n=0}a_n =\sumka{n=0} \left( \frac{5}{2}\cdot 5^n \ - \ \frac{5}{2}\cdot 3^n \right)\cdot x^n$
 
wynika ostatecznie:                   $a_n =\left( \frac{5}{2}\cdot 5^n \ - \ \frac{5}{2}\cdot 3^n \right). $
 
Odp.: $\ \ a_n =\frac{5}{2}\cdot \left( 5^n - 3^n \right). $

spisał K.O.