Konsultacje. AM

$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\CC{\mathbb{C}} \def\QQ{\mathbb{Q}} \def\dint{\mathop{\int\!\!\int}} \def\tint{\mathop{\int\!\!\int\!\!\int}} \def\rot{\hbox{rot\hskip2truept }} \def\div{\hbox{div\hskip2truept }} \def\grad{\hbox{grad\hskip2truept }} \def\zad#1{\noindent {\bf #1. }} \def\zadp#1{\mbox{\hspace{1em} {\bf #1) }}} \def\zadpa{\zadp{a} } \def\zadpb{\zadp{b} } \def\zadpc{\zadp{c} } \def\zadpd{\zadp{d} } \def\stylm{\displaystyle } $

ZADANIE 1. Uzasadnić, że rozwiązanie równania $\ x^4+y^4-xy=0\ $ jest zbiorem ograniczonym.

Innymi słowy: uzasadnić, że zbiór $\ \{(x,y): x^4+y^4-xy=0\}\ $ jest ograniczony.
Innymi słowy: uzasadnić, że jest takie $R$, że jeśli $(x,y)$ spełnia równanie $\ x^4+y^4-xy=0 \ $, to odległość $(x,y)$ od $(0,0)$ jest nie większa od $R$.
Innymi słowy: uzasadnić, że jest takie $R$, że jeśli $(x,y)$ spełnia równanie $\ x^4+y^4-xy=0 \ $, to $\ x^2+y^2\leq R^2$.
Innymi słowy: uzasadnić, że istnieje takie $R$, że jeśli $\ x^2+y^2 > R^2$, to $(x,y)$ nie spełnia równanie $\ x^4+y^4-xy=0 $.
Wystarczy pokazać, że istnieje takie $R$, że jeśli $\ x^2+y^2 > R^2$, to $F(x,y) > 0$, gdzie $\ F(x,y)=x^4+y^4-xy $.
Wystarczy pokazać, że istnieje takie $R$, że jeśli $\ x^2+y^2 > R^2$, to prawa strona równania jest większa od 0.

ROZWIĄZANIE. (elementarne)

Najpierw zauważmy, że wystarczy rozpatrzeć $\ x,y > 0$ (bowiem ...).

Oznaczmy: $\ R=\sqrt{x^2+y^2}\ $, dla DODATNICH $x,y$.

Mamy:
(i) $xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}=\frac{1}{2}R^2\ \ $ (co wynika ze wzoru skróconego mnożenia).
(ii) $x^2y^2\leq \frac{(x^2+y^2)^2}{4}=\frac{1}{4}R^4\ \ $ (można (i) podnieść stronami do kwadratu, bo obie strony w (i) są dodatnie!)

Dalej przekształcamy (szacując) lewą stronę równania:

$\ x^4+y^4-xy=(x^2+y^2)^2-$ $2x^2y^2-xy= \ $ (co wynika ze wzoru skróconego mnożenia).
            $=R^4-2x^2y^2-xy\geq \ $
            $\geq R^4-2\cdot\frac{1}{4}R^4-\frac{1}{2}R^2= \ $ (bo więcej odejmujemy)
            $=\frac{1}{2} R^2\cdot(R^2-1)\ .$

Zatem lewa strona równania jest dodatnia dla $(x,y)$ leżących poza kołem o środku w $(0,0)$ i promieniu 1.

ZADANIE 2. Uzasadnić, że rozwiązanie równania $\ x^4+y^4-7xy=0\ $ jest zbiorem ograniczonym.

ZADANIE 3. Uzasadnić, że rozwiązanie równania $\ \frac{2}{3}x^4+\frac{3}{8}y^4-9xy=0\ $ jest zbiorem ograniczonym.

Wsk.: $\ \frac{2}{3}x^4+\frac{3}{8}y^4-9xy\geq \frac{3}{8}x^4+\frac{3}{8}y^4-9xy= \frac{3}{8}(x^4+y^4-\frac{9\cdot 8}{3}xy)$.

ZADANIE 4. Uzasadnić, że rozwiązanie równania $\ x^8+y^8-7xy=0\ $ jest zbiorem ograniczonym.

ZADANIE 5. Czy rozwiązanie równania $\ x^3+y^3-7xy=0\ $ jest zbiorem ograniczonym?

Wsk.: Potraktuj $y$ jako parametr i uzasadnij, że dla każdej wartości parametru (a więc i dla 'ogromnego' $y$) jest rozwiąznie (ze względu na $x$), bowiem wielomian stopnia nieparzystego ma miejsca zerowe.

ZADANIE 5⁺. Czy dodatnie (tzn. o dodatnich obu współrzędnych) rozwiązania równania $\ x^3+y^3-7xy=0\ $ tworzą zbiór ograniczony?