Konsultacje: Ograniczoność rozwiązań pewnych równań.
ZADANIE 1. Uzasadnić, że rozwiązanie równania \ x^4+y^4-xy=0\ jest zbiorem ograniczonym.
Innymi słowy: uzasadnić, że zbiór \ \{(x,y): x^4+y^4-xy=0\}\ jest ograniczony.
Innymi słowy: uzasadnić, że jest takie R, że jeśli (x,y) spełnia równanie \ x^4+y^4-xy=0 \ , to odległość (x,y) od (0,0) jest nie większa od R.
Innymi słowy: uzasadnić, że jest takie R, że jeśli (x,y) spełnia równanie \ x^4+y^4-xy=0 \ , to \ x^2+y^2\leq R^2.
Innymi słowy: uzasadnić, że istnieje takie R, że jeśli \ x^2+y^2 > R^2, to (x,y) nie spełnia równanie \ x^4+y^4-xy=0 .
Wystarczy pokazać, że istnieje takie R, że jeśli \ x^2+y^2 > R^2, to F(x,y) > 0, gdzie \ F(x,y)=x^4+y^4-xy .
Wystarczy pokazać, że istnieje takie R, że jeśli \ x^2+y^2 > R^2, to prawa strona równania jest większa od 0.
Najpierw zauważmy, że wystarczy rozpatrzeć \ x,y > 0 (bowiem ...).
Oznaczmy: \ R=\sqrt{x^2+y^2}\ , dla DODATNICH x,y.
Mamy:
(i) xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}=\frac{1}{2}R^2\ \ (co wynika ze wzoru skróconego mnożenia).
(ii) x^2y^2\leq \frac{(x^2+y^2)^2}{4}=\frac{1}{4}R^4\ \ (można (i) podnieść stronami do kwadratu, bo obie strony w (i) są dodatnie!)
Dalej przekształcamy (szacując) lewą stronę równania:
Co w powyższym trzeba zmodyfikować, by rozwiązać zadania:
ZADANIE 2. Uzasadnić, że rozwiązanie równania \ x^4+y^4-7xy=0\ jest zbiorem ograniczonym.
ZADANIE 3. Uzasadnić, że rozwiązanie równania \ \frac{2}{3}x^4+\frac{3}{8}y^4-9xy=0\ jest zbiorem ograniczonym.
Wsk.: \ \frac{2}{3}x^4+\frac{3}{8}y^4-9xy\geq \frac{3}{8}x^4+\frac{3}{8}y^4-9xy=
\frac{3}{8}(x^4+y^4-\frac{9\cdot 8}{3}xy).
ZADANIE 4. Uzasadnić, że rozwiązanie równania \ x^8+y^8-7xy=0\ jest zbiorem ograniczonym.
ZADANIE 5. Czy rozwiązanie równania \ x^3+y^3-7xy=0\ jest zbiorem ograniczonym?
Wsk.: Potraktuj y jako parametr i uzasadnij, że dla każdej wartości parametru (a więc i dla 'ogromnego' y) jest rozwiąznie (ze względu na x), bowiem
wielomian stopnia nieparzystego ma miejsca zerowe.
ZADANIE 5+. Czy dodatnie (tzn. o dodatnich obu współrzędnych) rozwiązania równania \ x^3+y^3-7xy=0\ tworzą zbiór ograniczony?