Zadanie 1.C.. Rozwiąż nierówność $\stylm \ \ \ln_2 x > 1+\frac{x}{4}\ .$
przed/po-mysły. $\ \ \bullet\ \ $ CZY to nie są nierówności pomiędzy jakimiś średnimi?
Skąd ten pomysł? Wczoraj zrobiłem zadanie 'na średnie', ale
wczoraj, to było wczoraj, a dziś jest dziś! Chyba NIC z tego!
$\ \ \bullet\ \ $ Może znany jest algorytm/sposób na rozwiązywanie takich nierówności?
Oj! Nie znam.
$\ \ \bullet\ \ $ Może trzeba użyć 'metody graficznej'?
(Odczytanie odpowiedzi z wykresów funkcji lewej i prawej strony nierówności.
Tak nazywano to przed maturą. Ale czy to jest 'poważna metoda'? )
(pseudo)Rozwiązania 1.B i 1.C. Wykresy prawych stron tych nierówności są prostymi.
Łatwo zgadnąć, że lewe i prawe strony nierówności
są równe dla $x=0$ i $x=$
$1$
w przypadku 1.B;
są równe dla $x=4$ i $x=$
$8$
w przypadku 1.C. ( To może nie jest 'całkiem' łatwe, ale na pewno 'dość łatwe'. )
Wykres lewej strony:
$y=2^x\ $ jest wygięty w górę w przypadku 1.B;
$y=\ln_2 x\ $ jest wygięty w dół w przypadku 1.C;
zatem z prostymi (z prawych stron)
spotykają się tylko we wskazanych wcześniej punktach
i tylko pomiędzy tymi punktami (z powodu wygięcia) :
$y=2^x\ $ jest mniejsze od prawej strony w przypadku 1.B;
$y=\ln_2 x\ $ jest większe od prawej strony w przypadku 1.C.
(pseudo)Rozwiązanie 1.A. Łatwo zgadnąć, że lewa i prawa strony nierówności są równe dla $x=$ $0\ $
(i mają wartość $1\ $).
Zauważmy, że prosta $y=1\cdot x+1$ w punkcie $(0,1)$ jest styczną zarówno do
lewej strony, czyli do wykresu $y=e^x$ (bo
$\stylm (e^x)'_{x=0}= e^0=1\;$ );
prawej strony, czyli do wykresu $y=1+\ln(x+1)$ (bo
$\stylm (1+\ln(x+1))'_{x=0}= \frac{1}{0+1}=1\;$ ).
Wykres
$y=e^x\ $ jest wygięty w górę, więc cały leży ponad styczną, z wyjątkiem punktu styczności;
$y=1+\ln(x+1)\ $ jest wygięty w dół, więc cały leży pod styczną, z wyjątkiem punktu styczności;
zatem
wykres $\ y=e^x\ $ leży ponad wykresem $\ y=1+\ln(x+1),\ $ z wyjątkiem punktu styczności.
Stąd odpowiedź: nierówność zachodzi dla każdego $x$ z części wspólnej dziedzin tych funkcji, czyli
Odp. 1.A: $\ \ x\in($$-1,+\infty).\ \ $
Rozwiązania 1.A, 1.B, 1.C (pełne) W powyższych wystarczy:
w miejsce 'jest wygięty w górę' napisać
'jest ściśle wypukły, bo $(...)''=(...)'=...>0$, dla każdego $x$ z dziedziny';
w miejsce 'jest wygięty w dół' napisać
'jest ściśle wklęsły, bo $(...)''=(...)'=...<0$, dla każdego $x$ z dziedziny'.
(W miejscu kropek należy wstawić mały rachunek.)