Najpierw zauważmy, że szereg $\stylm \sumka{n=1}{x^n\over n+1}$ ma przedział zbieżności równy $[-1,1)$, bowiem
  $\bullet$     $\stylm {\frac{|x|^{n+1}}{n+2}\over \frac{|x|^{n}}{n+1} } $ $\stylm =|x|\cdot \frac{n+1}{n+2} \mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty}|x|\ $ stąd promień zbieżności jest równy 1,
  $\bullet$     dla $x=1$ jest to szereg harmoniczny (czyli rozbieżny ),
  $\bullet$     dla $x=-1$ jest to szereg anharmoniczny (czyli zbieżny z kryt. Leibniza ).
 
Podobnie: $[-1,1)$ jest przedziałem zbieżności poniższego szeregu oraz
(*)     $\stylm \sumka{m=1}{x^m\over m} = -\ln (1-x),\ $ dla $\ x\in[-1,1)$.
 
Dowód (*)   Dla $|x| < 1$, czyli we wnętrzu przedziału zbieżności, mamy
$\stylm \ \ \ \ \left(\sumka{m=1}{x^m\over m}\right)' = \sumka{m=1}\left({x^m\over m}\right)' = \sumka{m=1}x^{m-1}={1\over 1-x}.$
Stąd suma szeregu jest funkcją pierwotną prawej strony, czyli $\int {1\over 1-x}\;dx= -\ln (1-x)+C$.
Stała $C=0$, bo dla $x=0$ dostajemy $0=-\ln (1-0)+C$, skąd $C=0$.
Zatem $\ \sumka{m=1}{x^m\over m} = -\ln (1-x)$, co kończy dowód (*) (dla $|x| < 1$).
Uwaga 1. Dla $x=-1$ szereg jest zbieżny (z kryterium Leibniza) więc z (nietrywialnego) twierdzenia Abela wynika,
że jego suma jest prawostronnie ciągła w $x=-1$, czyli jest równa $-\ln(1-(-1))=-\ln 2.$
 
Przejdźmy do zadania; dla $x\neq 0$ mamy:
$\stylm\ \ \ \ \ \ \ \ \ f(x)= \sumka{n=1}{x^n\over n+1}$ $\stylm =\frac{1}{x}\cdot\sumka{n=1}{x^{n+1}\over n+1}=\frac{1}{x}\cdot\sumka{k=2}{x^{k}\over k}=\ \ \ $ (dalej z (*) )
$\stylm\ \ \ \ \ \ \ \ \ f(x)= \sumka{n=1}{x^n\over n+1}$ $\stylm = \frac{1}{x}\cdot\left( -\ln(1-x)-\frac{x^1}{1}\right)=-\frac{1}{x}\ln(1-x)-1$ ,
skąd
Odp.: $\stylm\ \ \ \ f(x)=\left\{\begin{array}{cl}-\frac{1}{x}\ln(1-x)-1 &\mbox{dla } x\in[- 1,1)\setminus\{0\} \\ 0 &\mbox{dla } x=0 \end{array} \right.$ .
 
Uwaga 2. Określenie $f$ (z 'wąsami') może sugerować, że $f$ ma jakieś osobliwości w $x=0$. Nic takiego!
Punkt $x=0$ leży we wnętrzu przedziału zbieżności szeregu potęgowego, więc
jego suma jest w tym punkcie różniczkowalna dowolnie wiele razy.