Odcinek z funkcji - prosto o najprostszych homotopiach

O odcinku AB można myśleć (od czasów Kartezjusza), że leży w układzie współrzędnych. Jego środek można określić wzorem

C = ¹/₂ A + ¹/₂ B , gdzie działania te należy rozumieć, że są wykonywane po współrzędnych, czyli C = ( ¹/₂ a₁ + ¹/₂ b₁ , ¹/₂ a₂ + ¹/₂ b₂ ) dla  A = ( a₁ , a₂ ) ,  B = ( b₁ , b₂ ) .

t = 0.500

Ogólnie, punkt C jest punktem odcinka AB, gdy

C = (1 - t) A + t B , dla pewnego t z przedziału <0,1> . Mianowicie, gdy stosunek odcinków AC / AB oznaczymy przez t,
to w takim samym stosunku są długości rzutów tych odcinków na osie układu współrzędnych, czyli t = (c₁ - a₁) / (b₁ - a₁) ,
t = (c₂ - a₂) / (b₂ - a₂) . Z równań tych wyznaczamy c₁, c₂ (sprawdź!): c₁ = (1 - t) a₁ + t b₁ ,
c₂ = (1 - t) a₂ + t b₂ . Są to współrzędne punktu C co skrótowo notujemy C = (1 - t) A + t B.

t = 0.500

Dla funkcji f, g (o wartościach liczbowych) i dowolnej ustalonej liczby t napis (1 - t) f + t g interpretujemy jako taką funkcję h_t, że

h_t(x) = (1 - t) f(x) + t g(x) . Np. dla f(x) = x² , g(x) = x² - 2x oraz t = 0.500 mamy (sprawdź):
    h_0.500(x) = (1 - 0.500) ( x² ) + 0.500 ( x² - 2x ) = x² - 1.000x.

Mamy nie jedną funkcją h_t, lecz wiele - zależą one od wartości t. Taką kolekcję funkcji, gdy t przebiega cały przedział <0,1> można uważać za odcinek fg , odcinek złożony z funkcji.

Inne odcinki fg złożone z funkcji można oglądać na wykresie obok. Warto je zobaczyć dla:
-    f(x) = |x|,   g(x) = |x| - 1 ;
-    f(x) = |x|,   g(x) = |x - 1| ;
-    f(x) = sin(x),   g(x) = cos(x) ;
-    f(x) = sin(x),   g(x) = sin(x) + 2 ;
-    f(x) = x,   g(x) = cos(x) ;
-    f(x) = x^2,   g(x) = cos(x) ;
-    f(x) = x^2,   g(x) = x^3 ;
-    f(x) = x^2,   g(x) = x^2 - 5x + 6  ;
-    f(x) = x + 1,   g(x) = 2x ;
-    f(x) = x^2 - |x| ,   g(x) =  x^2 - x ;
-    f(x) = cos(2x),   g(x) = cos(x) ;
-    f(x) = cos(2x),   g(x) = cos(3x) ;
-    f(x) = x^2,   g(x) = [x] ;
-    f(x) = x^2 ,   g(x) = x - [x] ;
-    f(x) = [x] ,   g(x) = x - [x] .

Uwaga 1. 
Może się wydawać, że jeśli będziemy przesuwać wykres pewnej funkcji f wzdłuż jakiegoś (zwykłego) odcinka, to w ten sposób wyznaczymy kolekcję funkcji będącą odcinkiem złożonym z funkcji. To nie jest prawda! Niektóre z powyższych przykładów ilustrują, że tak być nie może. Które?

Uwaga 2. 
Przesuwając wykres pewnej funkcji f wzdłuż jakiegoś pionowego odcinka, równolegle do osi OY, dostajemy kolekcję funkcji będącą odcinkiem złożonym z funkcji. To prawda. Niektóre z powyższych przykładów ilustrują, że tak jest. Które?

Uwaga 3. 
Jak nazwać kolekcję funkcji postaci (1 - t) f + t g gdy t przebiega nie przedział <0,1> lecz wszystkie liczby rzeczywiste?

Uwaga 4. 
Gdy mowa o kolekcji funkcji będącej odcinkiem fg złożonym z funkcji, to zapewne jego długość jest odległością funkcji f i g. Tak, ale jak mierzyć długości takich odcinków? To już trochę trudniejsze pytanie. Nieprecyzyjnie mówiąc za odległość funkcji f i g można przyjąć największą z liczb |f(x) - g(x)|. Dlaczego napisałem 'można przyjąć'? Bo można też inaczej określać odległości funkcji. Zostawmy to na inną okazję.

Uwaga (tylko dla dorosłych)  
Na wykładzie z topologii homotopią określa się ciągłą funkcję $$H:X\times[0,1]\to Y.$$ Jaki jest związek powyższych dywagacji o odcinku z funkcji z homotopiami?
W szczególności w tym kontekście:
 \(\bullet\)  Jakie jest \(X\)?   \(X=\mathbb{R}\).
 \(\bullet\)  Jakie jest \(Y\)?   \(Y=\mathbb{R}\).
 \(\bullet\)  Jak rozumieć \(h_t\)?   można utożsamiać z obcięciem \(H|{_{X\times\{t\}}}\), tzn. \(h_t(x)=H(x,t)\) dla \(x\in X\).
 \(\bullet\)  Jak rozumieć \(f\)?   \(f\) można utożsamiać z obcięciem \(H|{_{X\times\{0\}}}\), tzn. \(f(x)=H(x,0)\) dla \(x\in X\).
 \(\bullet\)  Jak rozumieć \(g\)?   \(g\) można utożsamiać z obcięciem \(H|{_{X\times\{1\}}}\), tzn. \(g(x)=H(x,1)\) dla \(x\in X\).
Nie wszystkie przykłady odcinków z funkcji są homotopiami, bo nie wszystkie funkcje \(f,\;g\) są ciągłe.
Inny problemem jest zrozumienie, co oznacza ciągłość funkcji \(H\). 'Bezpiecznie' jest ograniczyć się do przypadku, gdy \(X\) jest zwarta.