Zad. 0. Rozważamy podzbiory przestrzeni euklidesowych \(\mathbb{R}^n\).
a) Dla \(\ A=[0,1)\cup\ZZ,\ \)
\(\ B = (1,4]\cap \QQ, \ \) \(\ C=(3,5)\setminus\QQ \ \) podaj:
\(\mathrm{Int}\:A=\)
\(\Cl{A}=\)
\(\ \mathrm{Bd}\:A=\)
\(\ \mathrm{Bd}\left(\Cl{\mathrm{Int}\:A}\right)=\)
\(\ \mathrm{Int}\left(\Cl{\mathrm{Bd}\:A}\right)=\)
\(\mathrm{Int}\:B,\ \)
\(\Cl{B},\ \)
\(\ \mathrm{Bd}\:B,\)
\(\ \Cl{\mathrm{Int}\:B},\)
\(\ \mathrm{Int}\:\Cl{B},\)
\(\ \mathrm{Int}(\mathrm{Bd}\:B),\)
\(\mathrm{Int}\:C,\ \)
\(\Cl{C},\ \)
\(\ \mathrm{Bd}\:C,\)
\(\ \Cl{\mathrm{Int}\:C},\)
\(\ \mathrm{Int}\:\Cl{C},\)
\(\ \mathrm{Int}(\mathrm{Bd}\:C),\)
\(\mathrm{Int}\:(A\cap B),\ \)
\((\mathrm{Int}\:A)\cap (\mathrm{Int}\:B)),\ \)
\(\ \mathrm{Bd}\:(C\setminus A),\)
\(\ \Cl{\mathrm{Int}\:(B\cup C)},\)
\(\ \mathrm{Int}\:\Cl{B\cup C}\)
b) Dla \(\ A=\{(x,y):0 < y\leq |x|,\; x\in[-1,1)\},\ \)
\(\ B=\{(x,y):0 \leq y\leq |x| < 1\}\) podaj:
\(\mathrm{Int}\:A,\ \)
\(\Cl{A},\ \)
\(\ \mathrm{Bd}\:A,\)
\(\ \Cl{\mathrm{Int}\:A},\)
\(\ \mathrm{Int}\:\Cl{A},\)
\(\ \mathrm{Int}(\mathrm{Bd}\:A),\)
\(\mathrm{Int}\:B,\ \)
\(\Cl{B},\ \)
\(\ \mathrm{Bd}\:B,\)
\(\ \Cl{\mathrm{Int}\:B},\)
\(\ \mathrm{Int}\:\Cl{B},\)
\(\ \mathrm{Int}(\mathrm{Bd}\:B),\)
\(\mathrm{Int}\:(A\setminus B),\)
\(\mathrm{Int}\:(B\setminus A),\)
\(\ \mathrm{Bd}\:(B\setminus A),\)
\(\ \mathrm{Bd}\:(A\setminus B),\)
\(\ \Cl{\mathrm{Int}\:(A\cap B)},\)
\(\ \mathrm{Int}\:\Cl{A\cap B}\)
Zad. 0'. Rozważamy podzbiory \(\mathbb{R}^2\) z topologią wyznaczoną przez metrykę centrum.
Dla \(\ A=\{(x,y):0 < y\leq |x|,\; x\in[-1,1)\},\ \)
\(\ B=\{(x,y):0 \leq y\leq |x| < 1\}\) podaj:
\(\mathrm{Int}\:A,\ \)
\(\Cl{A},\ \)
\(\ \mathrm{Bd}\:A,\)
\(\ \Cl{\mathrm{Int}\:A},\)
\(\ \mathrm{Int}\:\Cl{A},\)
\(\ \mathrm{Int}(\mathrm{Bd}\:A),\)
\(\mathrm{Int}\:B,\ \)
\(\Cl{B},\ \)
\(\ \mathrm{Bd}\:B,\)
\(\ \Cl{\mathrm{Int}\:B},\)
\(\ \mathrm{Int}\:\Cl{B},\)
\(\ \mathrm{Int}(\mathrm{Bd}\:B),\)
\(\mathrm{Int}\:(A\setminus B),\)
\(\mathrm{Int}\:(B\setminus A),\)
\(\ \mathrm{Bd}\:(B\setminus A),\)
\(\ \mathrm{Bd}\:(A\setminus B),\)
\(\ \Cl{\mathrm{Int}\:(A\cap B)},\)
\(\ \mathrm{Int}\:\Cl{A\cap B}\)
| a) \(A\) jest otwarty w \(X\) i jest otwarty w \(Y\) | a') \(A\) jest domknięty w \(X\) i jest domknięty w \(Y\) |
| b) \(A\) jest otwarty w \(X\) i nie jest otwarty w \(Y\) | b') \(A\) jest domknięty w \(X\) i nie jest domknięty w \(Y\) |
| c) \(A\) nie jest otwarty w \(X\) i jest otwarty w \(Y\) | c') \(A\) nie jest domknięty w \(X\) i jest domknięty w \(Y\) |
| d) \(A\) nie jest otwarty w \(X\) i nie jest otwarty w \(Y\) | d') \(A\) nie jest domknięty w \(X\) i nie jest domknięty w \(Y\) |
Zad. 2. Rozważamy podprzestrzenie \(X\) przestrzeni euklidesowych \(\mathbb{R}^n\).
Dla \(Z\subseteq X\subseteq\RR\) symbole \(\mathrm{Int}_XZ,\; \mathrm{Bd}_XZ, \Cl{Z}^X\)
oznaczają wnętrze, brzeg i domknięcie \(Z\) w przestrzeni \(X\) (z topologią dziedziczoną z \(\mathbb{R}^n\)).
a) Niech \(\ X=([0,2]\times[0,2])\setminus ((0,2)\times(1,2)) ,\ \)
\(\ A = \{0\}\times [0,2],\ \) \(\ B=(0,1)\times [0,1], \ \) \(\ C=[0,1)\times (0,1]. \ \)
Podaj:
\(\mathrm{Int}_XA =\)
\(\Cl{A}^X=\)
\(\mathrm{Bd}_XA=\)
\(\mathrm{Int}_XB=\)
\(\Cl{B}^X=\)
\(\mathrm{Bd}_XB=\)
\(\mathrm{Int}_XC=\)
\(\Cl{C}^X= \)
\(\mathrm{Bd}_XC=\)
b) Niech \(\ X=(\QQ\cap [-4,-2))\cup[-2,0]\cup\NN,\ \)
\(\ A = (-1,3]\cap X, \ \) \(\ B=(-3,-1)\cap X. \ \)
Podaj: \(\mathrm{Int}_XA,\ \) \(\Cl{A}^X,\ \) \(\ \mathrm{Bd}_XA\) ,
\(\mathrm{Int}_XB,\ \) \(\Cl{B}^X,\ \) \(\ \mathrm{Bd}_XB\) .
c) Niech \(\ X=(-1,1]\cup([2,4)\setminus\QQ)\cup([5,7]\cap\QQ),\ \)
\(\ A = (0,3]\cap X, \ \) \(\ B=(3,6)\cap \QQ\cap X. \ \)
Podaj: \(\mathrm{Int}_XA,\ \) \(\Cl{A}^X,\ \) \(\ \mathrm{Bd}_XA\) ,
\(\mathrm{Int}_XB,\ \) \(\Cl{B}^X,\ \) \(\ \mathrm{Bd}_XB\) .
d) Niech \(U\subseteq\RR\) będzie zbiorem otwartym w \(\RR\).
Czy dla każdego \(C\subseteq U\) zachodzi \(\ \mathrm{Int}_UC=\left(\mathrm{Int}_{\RR}C\right)\cap U\) ? (Uzasadnij odpowiedź.)
e) Niech \(F\subseteq\RR\) będzie zbiorem domkniętym w \(\RR\).
Czy dla każdego \(D\subseteq F\) zachodzi \(\ \mathrm{Bd}_FD=\left(\mathrm{Bd}_{\RR}D\right)\cap F\) ? (Uzasadnij odpowiedź.)
Zad. 3. Rozważamy podprzestrzenie \(\mathbb{R}^2\) z topologią euklidesową.
Czy podana podprzestrzeń jest homeomorficzna z jakąś podprzestrzenią \(Y\) przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^1\)?
a) \(A=\{(0,0)\}
\cup\left\{\left(-{1\over n},-{1\over n}\right):n\!\in\!\Npl\!\right\}
\cup\left\{\left({1\over n},{1\over n}\right):n\!\in\!\Npl\!\right\}
\cup\left\{\left(-{1\over n},{1\over n}\right):n\!\in\!\Npl\!\right\}
\cup\left\{\left({1\over n},-{1\over n}\right):n\!\in\!\Npl\!\right\}\)
Wsk.
b) \(B=\left\{{1\over n}:n\in\Npl\right\}\times[0,1)\), Wsk.
c) \(C=\left\{\left(-{1\over n},0\right):n\in\Npl\right\} \cup\left\{\left({1\over n},0\right):n\in\Npl\right\} \cup\left\{\left(x,x\right):x\in[0,1]\right\}\), Wsk.
d) \(D= \left\{\left(-{1\over n},0\right):n\in\Npl\right\} \cup \left\{\left({1\over n},0\right):n\in\Npl\right\} \cup \left\{\left(x,|x|\right):x\in[-1,1]\setminus \left\{{1\over n}:n\in\Npl\right\}\right\} \) Odp.
Uwaga:
Proszę uzasadniać odpowiedzi 'Tak' (podając odpowiednią podprzestrzeń \(Y\) p. euklidesowej \(\mathbb{R}^1\)
i wskazując homeomorfizm). Uzasadnienia odpowiedzi 'Nie' są (nieco) trudniejsze
(i w niektórych przykładach nie wprowadzono jeszcze pojęć, którymi można je uzasadnić).
Zad. 4. Rozważamy podzbiory \(\mathbb{R}^2\) z topologią wyznaczoną przez metrykę centrum.
Czy podana podprzestrzeń jest homeomorficzna z jakąś podprzestrzenią \(Y\) przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^1\)?
a) \(A=\{(x,y):y=|x|,\; x\in[-1,1]\setminus\QQ\} \cup \{(x,1): x\in[-1,1]\cap\QQ\} \), Wsk.
b) \(B=\{(x,y):y=|x|,\; x\in[-1,1]\cap\QQ\} \cup \{(x,1): x\in[-1,1]\setminus\QQ\} \), Wsk.
c) \(C= \{(x,y):y=|x|,\; x\in[-1,1]\setminus\QQ\} \cup \left(\{0\}\times[0,1]\right) \) .
Uwaga:
Proszę uzasadniać odpowiedzi 'Tak' (podając odpowiednią podprzestrzeń \(Y\) p. euklidesowej \(\mathbb{R}^1\)
i wskazując homeomorfizm). Uzasadnienia odpowiedzi 'Nie' są (nieco) trudniejsze
(i w niektórych przykładach nie wprowadzono jeszcze pojęć, którymi można je uzasadnić).
