\( \def\RR{\mathbb{R}} \def\QQ{\mathbb{Q}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\Npl{\mathbb{N}^{+}} \def\ZZ{\mathbb{Z}} \def\mforall{\mathop{\forall}\limits} \def\mexists{\mathop{\exists}\limits} \def\bd{\mbox{bd }} \def\Bd{\mathrm{Bd}\,} \def\cl{\mbox{Cl}} \newcommand{\Cl}[1]{\overline{#1}} \def\wne{\mathrm{Int}\,} \def\Int{\mathrm{Int}\,} \newcommand{\xlim}[1]{\lim\limits_{x\to#1}} \newcommand{\hlim}[1]{\lim\limits_{h\to#1}} \newcommand{\xtend}[1]{\ \mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to#1}\ } \)

Przed Kartkówką ratunkową  

 
Zad. 0.   Dla \(P\subseteq \{1,2,3,4,5\}\) niech $$A_P=P\ \cup \ (1,2) \ \cup \ \{3+\frac{1}{2^n}:n\in\Npl\} \ \cup \ \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} (4+\frac{1}{2^{n+1}},4+\frac{1}{2^n}]\ \subseteq\ \RR. $$

 a)   Podaj wszystkie takie \(P\subseteq \{1,2,3,4,5\}\), że $A_P$ jest zwarte.
Wsk. Są dwa takie zbiory.

 b)   Podaj wszystkie składowe zbiorów: $A_{\{1,2,3,4,5\}},\ \ $ $A_{\{1,3\}},\ \ $ $A_{\emptyset},\ \ $ $ A_{\{1,3\}}, \ \ $ $A_{\{1,2,3,4\}}\setminus A_{\{1,3\}} .$
Wsk. Gdy tylko rozważać składowe, które mają nieskończenie wiele punktów, to każdy z nich ma tylko skończenie wiele nieskończonych składowych.

 c)   Podaj wszystkie takie \(P\subseteq \{1,2,3,4,5\}\), że każda składowa $A_P$ jest zwarta.
Wsk. Są cztery takie zbiory.

 d)   Czy $A_{\{1,2,3,4\}}$ jest homeomorficzny z $A_{\{1,2,3,4,5\}}$ ?
Wsk. Tak.

 d')   Czy $A_{\{1,2,3\}}$ jest homeomorficzny z $A_{\{1,2,3,4\}}$ ?
Wsk. Nie.

 d'')   Podaj wszystkie takie pary $\langle P',P''\rangle\in \{1,2,3,4,5\}^2$, że $A_{P'}$ jest homeomorficzny z $A_{P''}$.
Wsk. Oj sporo tego. Wynik przedstaw w tabelce 5×5.

 e)   Czy istnieje ciągła surjekcja z $A_{\{2,3,4\}}$ na $A_{\{2,3\}}$ ?
Wsk. Nie.

 e')   Czy istnieje ciągła surjekcja z $A_{\{2,3\}}$ na $A_{\{2,3,4\}}$ ?
Wsk. Tak.

 e'')   Podaj wszystkie takie pary $\langle P',P''\rangle\in \{1,2,3,4,5\}^2$, że istnieje ciągła surjekcja z $A_{P'}$ na $A_{P''}$.
Wsk. Oj sporo tego. Wynik przedstaw w tabelce 5×5.

 
Zad. 1.   Podaj wszystkie takie wartości parametru \(a\in\RR\), że podprzestrzeń \(X\) przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^2\) jest spójna, gdy:

 a)   \(X=\{\langle x,y\rangle: y=\sin {1\over x},\;x\in(0,2)\}\cup\{\langle 2,a\rangle\}\)
Odp. \(a\in\{\sin{1\over2} \}\) .

 b)   \(X=\{\langle x,y\rangle: y=\sin {1\over x},\;x\in(0,2)\}\cup\{\langle 0,a\rangle\}\)
Odp. \(a\in[-1,1]\) .

 c)   \(X=\{\langle x,y\rangle: y=x\cdot \sin {1\over x},\;x\neq0\}\cup\{\langle 0,a\rangle\}\)
Odp. \(a\in\{0\}\) .

 d)   \(X=\{\langle x,y\rangle: y={\sin {1\over x}\over x},\;x\neq0\}\cup\{\langle 0,a\rangle\}\) .
Odp. \(a\in\RR\) .

 e)   \(X=\{\langle x,y\rangle: y={1\over x},\;x\neq0\}\cup(\{a\}\times\RR)\)
Odp. \(a\in\emptyset\) (nie ma takiego \(a\)).

 f)   \(X=\{\langle x,y\rangle: y={1\over x^2},\;x\neq0\}\cup(\QQ\times[a,+\infty))\)
Odp. \(a\in(-\infty,0]\) .

 g)   \(X=\{\langle x,y\rangle: y={1\over x^2},\;x\neq0\}\cup(\RR\times(\QQ\cap[a,+\infty))\)
Odp. \(a\in[0,+\infty)\) .

 
Zad. 2.   W tym zadaniu '\(\aleph_0\)-przeliczalnie' oznacza: 'przeliczalnie, ale nie skończenie wiele'.

 a)   Czy istnieje taka podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^n\), która ma nieprzeliczalnie wiele składowych, które mają \(\aleph_0\)-przeliczalnie wiele punktów?
Odp. Nie, w przestrzeni metrycznej niepusty, niejednoelementowy zbiór spójny ma co najmniej continuum punktów.

 b)   Czy istnieje taka podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^n\), która ma \(\aleph_0\)-przeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
Odp. Tak, np. \([0,1]\times \NN\); składowe są odcinkami.

 c)   Czy istnieje taka podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^n\), która ma nieprzeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
Odp. Tak, np. \([0,1]\times(\RR \setminus\QQ)\); składowe są odcinkami.

 b¹)   Czy istnieje taka zwarta podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^1\), która ma \(\aleph_0\)-przeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
Odp. Tak, np. \([-1,1]\setminus \bigcup\limits_{n\in\Npl}\left({1\over3n+1},{1\over3n}\right)\); składowe są odcinkami.

 c¹)   Czy istnieje taka zwarta podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^1\), która ma nieprzeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
Odp. Nie. Nieprzeliczalne, spójne podzbiory \(\RR\) są przedziałami, więc mają niepuste wnętrza w \(\RR\), a w przestrzeni ośrodkowej nie ma nieprzeliczalnie wielu rozłącznych zbiorów otwartych (składowe są rozłączne).

 c²)   Czy istnieje taka zwarta podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^2\), która ma nieprzeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
Wsk. Tak.
Odp. Tak. Na przykład $C\times[0,1]$, gdzie $C$ oznacza zbiór Cantora.

 
Zad. 3.   Rozważamy \(X=\{\langle x,{x\over n} \rangle : x\in[0,1], \;n\in\Npl\}\) z metryką centrum i \(Y=[0,+\infty)\) z metryką euklidesową.

 a)   Czy istnieje ciągła surjekcja \(f:X\to Y\) ?
Odp. Tak, np.: \(f(x,y)=x\;\mathrm{gdy}\; x\leq {1\over2} \) i \(f(x,y)={1\over2}+{x\over y}(x-{1\over2}) \;\mathrm{gdy}\; x> {1\over2}\) .

 b)   Czy istnieje ciągła surjekcja \(g:Y\to X\) ?
Odp. Tak, np.: \(g(t)=\langle 1-2|\{t\}-{1\over2}|,{1\over[t+1]}\cdot(1-2|\{t\}-{1\over2}|) \rangle\), gdzie \([.]\) i \(\{.\}\) oznacza część całkowitą i ułamkową; nieco inny przykład: \(g_1(t)=\langle\sin^2(\pi t),{1\over[t+1]}\cdot \sin^2(\pi t) \rangle\).

 
Zad. 4.   Rozważamy \(X=\{\langle x, {1\over n}(1-x) \rangle : x\in[0,1], \;n\in\Npl\}\) z metryką centrum i \(Y=[0,+\infty)\) z metryką euklidesową.

 a)   Czy istnieje ciągła surjekcja \(f:X\to Y\) ?
Odp. Tak, dowolna surjekcja \(f:X\to Y\) jest ciągła, bo \(X\) jest przestrzenią dyskretną (singletony są otwarte w \(X\)).

 b)   Czy istnieje ciągła surjekcja \(g:Y\to X\) ?
Odp. Nie, bo \(Y\) jest spójna, \(X=\{\langle 0,1\rangle\}\cup(X\setminus\{\langle 0,1\rangle\}) \) nie jest spójna, a ciągłość zachowuje spójność.

 
Zad. 5.   Rozważamy przestrzenie metryczne \(X_1,\;X_2\).
Pokazać, że rzut \(p_1:X_1\times X_2\to X_1\) przekształca zbiory otwarte w \(X_1\times X_2\) na zbiory otwarte w \(X_1\).

 
Zad. 6^*.   Rozważamy przestrzeń euklidesową \(\mathbb{R}\). Niech   \(A_1=\mathbb{Z}\ \cup \ \bigcup\limits_{m\in\Npl}\;[m+{1\over4},m+{3\over8})\ \cup\ \bigcup\limits_{n\in\Npl}\;(n+{1\over2},n+{5\over8}) \) .
Znaleźć taką podprzestrzeń \(A_2\subseteq\RR\), która ma wszystkie trzy własności:

Uwaga:   Oprócz podania \(A_2\) proszę wskazać bijekcje \(f,g\) oraz uzasadnić (i).

Odp. (częściowa)    na przykład \(A_2=\mathbb{Z}\ \cup \ \bigcup\limits_{m\in\Npl}\;(m+{1\over4},m+{3\over8})\ \cup\ \bigcup\limits_{n\in\Npl}\;(n+{1\over2},n+{5\over8}) \) .