Przed Kartkówką ratunkową
Zad. 0. Dla \(P\subseteq \{1,2,3,4,5\}\) niech
$$A_P=P\ \cup \ (1,2) \ \cup \ \{3+\frac{1}{2^n}:n\in\Npl\}
\ \cup \ \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} (4+\frac{1}{2^{n+1}},4+\frac{1}{2^n}]\ \subseteq\ \RR.
$$
a) Podaj wszystkie takie \(P\subseteq \{1,2,3,4,5\}\), że $A_P$ jest zwarte.
b) Podaj wszystkie składowe zbiorów: $A_{\{1,2,3,4,5\}},\ \ $ $A_{\{1,3\}},\ \ $ $A_{\emptyset},\ \ $ $ A_{\{1,3\}}, \ \ $
$A_{\{1,2,3,4\}}\setminus A_{\{1,3\}} .$
c) Podaj wszystkie takie \(P\subseteq \{1,2,3,4,5\}\), że każda składowa $A_P$ jest zwarta.
d) Czy $A_{\{1,2,3,4\}}$ jest homeomorficzny z $A_{\{1,2,3,4,5\}}$ ?
d') Czy $A_{\{1,2,3\}}$ jest homeomorficzny z $A_{\{1,2,3,4\}}$ ?
d'') Podaj wszystkie takie pary $\langle P',P''\rangle\in \{1,2,3,4,5\}^2$, że
$A_{P'}$ jest homeomorficzny z $A_{P''}$.
e) Czy istnieje ciągła surjekcja z $A_{\{2,3,4\}}$ na $A_{\{2,3\}}$ ?
e') Czy istnieje ciągła surjekcja z $A_{\{2,3\}}$ na $A_{\{2,3,4\}}$ ?
e'') Podaj wszystkie takie pary $\langle P',P''\rangle\in \{1,2,3,4,5\}^2$, że
istnieje ciągła surjekcja z $A_{P'}$ na $A_{P''}$.
Zad. 1. Podaj wszystkie takie wartości parametru \(a\in\RR\), że podprzestrzeń \(X\) przestrzeni euklidesowej
\(\mathbb{R}^2\) jest spójna, gdy:
a) \(X=\{\langle x,y\rangle: y=\sin {1\over x},\;x\in(0,2)\}\cup\{\langle 2,a\rangle\}\)
b) \(X=\{\langle x,y\rangle: y=\sin {1\over x},\;x\in(0,2)\}\cup\{\langle 0,a\rangle\}\)
c) \(X=\{\langle x,y\rangle: y=x\cdot \sin {1\over x},\;x\neq0\}\cup\{\langle 0,a\rangle\}\)
d) \(X=\{\langle x,y\rangle: y={\sin {1\over x}\over x},\;x\neq0\}\cup\{\langle 0,a\rangle\}\) .
e) \(X=\{\langle x,y\rangle: y={1\over x},\;x\neq0\}\cup(\{a\}\times\RR)\)
f) \(X=\{\langle x,y\rangle: y={1\over x^2},\;x\neq0\}\cup(\QQ\times[a,+\infty))\)
g) \(X=\{\langle x,y\rangle: y={1\over x^2},\;x\neq0\}\cup(\RR\times(\QQ\cap[a,+\infty))\)
Zad. 2. W tym zadaniu '\(\aleph_0\)-przeliczalnie' oznacza: 'przeliczalnie, ale nie skończenie wiele'.
a) Czy istnieje taka podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^n\),
która ma nieprzeliczalnie wiele składowych, które mają \(\aleph_0\)-przeliczalnie wiele punktów?
b) Czy istnieje taka podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^n\),
która ma \(\aleph_0\)-przeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
c) Czy istnieje taka podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^n\),
która ma nieprzeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
b1) Czy istnieje taka zwarta podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^1\),
która ma \(\aleph_0\)-przeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
c1) Czy istnieje taka zwarta podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^1\),
która ma nieprzeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
c2) Czy istnieje taka zwarta podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^2\),
która ma nieprzeliczalnie wiele składowych, które mają nieprzeliczalnie wiele punktów?
Zad. 3.
Rozważamy \(X=\{\langle x,{x\over n} \rangle : x\in[0,1], \;n\in\Npl\}\) z metryką centrum
i \(Y=[0,+\infty)\) z metryką euklidesową.
a)
Czy istnieje ciągła surjekcja \(f:X\to Y\) ?
b)
Czy istnieje ciągła surjekcja \(g:Y\to X\) ?
Zad. 4.
Rozważamy \(X=\{\langle x, {1\over n}(1-x) \rangle : x\in[0,1], \;n\in\Npl\}\) z metryką centrum
i \(Y=[0,+\infty)\) z metryką euklidesową.
a)
Czy istnieje ciągła surjekcja \(f:X\to Y\) ?
b)
Czy istnieje ciągła surjekcja \(g:Y\to X\) ?
Zad. 5. Rozważamy przestrzenie metryczne \(X_1,\;X_2\).
Pokazać, że rzut \(p_1:X_1\times X_2\to X_1\) przekształca zbiory otwarte w \(X_1\times X_2\) na zbiory otwarte w \(X_1\).
Zad. 6*.
Rozważamy przestrzeń euklidesową \(\mathbb{R}\).
Niech
\(A_1=\mathbb{Z}\ \cup \ \bigcup\limits_{m\in\Npl}\;[m+{1\over4},m+{3\over8})\ \cup\ \bigcup\limits_{n\in\Npl}\;(n+{1\over2},n+{5\over8}) \) .
Znaleźć taką podprzestrzeń \(A_2\subseteq\RR\), która ma wszystkie trzy własności:
Uwaga: Oprócz podania \(A_2\) proszę wskazać bijekcje \(f,g\) oraz uzasadnić (i).
Odp. (częściowa)