1. Wyznaczyć prawostronnie niezmiennicze pola wektorowe dla przykładowych grup z wykładu (tzn. grup Heisenberga, “ax+b”, SO(3), SL(2, R) i izometrii płaszczyzny). Wybrać sobie bazę i obliczyć odpowiedni operator L = ∑ X_{i}^{2} gdzie X_{i} są elementami bazy.

2 Sprawdzić że jeśli X jest prawostronnie niezmienniczym polem wektorowych an grupie Liego G, to X wyznacza operator antysymetryczny na L^{2}(G) względzem lewostronnie niezmienniczej miary Haara, tzn

⟨Xf, g⟩ = −⟨f, Xg⟩

dla dowolnych f, g ∈ C_{c}^{∞}(G).

3. Pokazać że jeśli K jest zwartym otoczeniem 0 w przestrzeni euklidesowej ℝ^{d} to |K^{n}|/n^{d} dąży do miary powłoki wypukłej K.

Uwaga: podobny wynik zachodzi dla grup nilpotentnych.

4. Grupę “ax+b” utożsamiamy z ℝ^{2} z działaniem:

(x_{1}, y_{1})(x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, e^{x_{2}}y_{1} + y_{2})

Niech K = {(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}. Jak wygląda K · (t, 0)? Wywniskować stąd że “ax+b” ma wzrost wykładniczy.