1. Na grupie Heisenberga wyliczyć jawne wzory na reprezentacje λ_{ω} indukowane z centrum i obrazy pól X i Y w tych reprezentacjach.

2. Wyliczyć transformację Fouriera względem centrum z jądra ciepła na grupie Heisenberga.

Wskazówka: Jest znany wzór na półgrupę generowaną przez operator H = −Δ + |x|^{2} na ℝ^{n}:

exp(tH)δ_{x}(y) = c_{n} sinh(2t)^{−n/2} exp(−A(t, x, y)/2)

gdzie

A(t, x, y) = \frac{cosh(2t)(|x|^{2} + |y|^{2}) − 2⟨x, y⟩}{sinh(2t)}

zaś c_{n} = (2π)^{−n/2}.

3. Niech D będzie dylatacją na ℝ^{n}, tzn. D jest odwracalne i lim_{k→−∞} D^{k}x = 0. Powiemy że dystrybucja T jest prawie jednorodna rzędu r jeśli dla każdego ϕ ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}−{0}) i ψ ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) zarówno ∥2^{−rk}ϕ∘D^{k}T ∥_{M^{1}} jak i 2^{−rk}⟨ψ∘D^{k}, T ⟩ są ograniczone dla k dążącego do nieskończoności (gdzie ∥ · ∥_{M^{1}} oznacza normę na przestrzeni miar). Pokazać że jeśli T ma nośnik zwarty to iloczyn T z jednomiem stopnia dodaniego jest dystrybucją prawie jednorodną rzędu wyższego niż r. Ponadto transformacja Fouriera T spełnia |T̂(D^{k}ω)| ≤ C(k + 1)2^{k} dla |ω| ≤ 1 i k ≥ 0.