1. Niech H = −∂_{x}^{2} + x^{2} będzie operatorem Hermita. Pokazać że

∥∂_{x}^{2k}f∥_{L^{p}} ≤ ∥H^{k}f∥_{L^{p}}

Wskazówka: Wywnioskować to z odpowiedniej nierówności na grupie Heisenberga.

2. Niech X, Y, Z będą przestrzeniami z miarą, 1 ≤ p ≤ ∞ i niech ϕ : X ↦ L^{q}(Z), ψ : Y ↦ L^{p}(Z) gdzie 1/p + 1/q = 1 będą odwzorowaniami mierzalnymi. Niech

(T f)(x) = ∫_{y∈Y} K(x, y)f(y)dy

(Sf)(x) = ∫_{y∈Y} K(x, y)⟨ϕ(x), ψ(y)⟩f(y)dy

gdzie K jest mierzalne i ograniczone. Pokazać że

∥S∥_{L^{p}(Y)→L^{p}(X)} ≤ sup_{x∈X} ∥ϕ(x)∥_{L^{q}(Z)} sup_{y∈Y} ∥ψ(y)∥_{L^{p}(Z)}∥T ∥_{L^{p}(Y)→L^{p}(X)}

Zauważyć że wynik ten pozostaje w mocy gdy ϕ i ψ przyjmują wartości w L^{2}, tzn

∥S∥_{L^{p}(Y)→L^{p}(X)} ≤ sup_{x∈X} ∥ϕ(x)∥_{L^{2}(X)} sup_{y∈Y} ∥ψ(y)∥_{L^{2}(Z)}∥T ∥_{L^{p}(Y)→L^{p}(X)}.

Wskazówka1: Najpierw pokazać że T ⊗ I z L^{p}(Y × Z) do L^{p}(X × Z) ma tą samą normę co T.

Wskazówka2: L^{2} można izometrycznie zanurzyć w L^{p} dla 1 ≤ p ≤ ∞.

3. Niech G będzie grupą unimodularną, ϕ = g ∗ g^{∗} z g ∈ L^{2}(G), zaś K ∈ L^{r}(G), 1 ≤ 1 ≤ ∞. Niech

T f = K ∗ f
Sf = (ϕK) ∗ f

Pokazać że

∥S∥_{L^{p}(G)→L^{p}(G)} ≤ ∥g∥_{L^{2}(G)}^{2}∥T ∥_{L^{p}(G)→L^{p}(G)}

Wskazówka: Użyć poprzednie zadanie.

4. Grupę G nazywany grupą ze średnią jeśli istnieje ciąg funkcji g_{n} taki że g_{n} na nośnik zwarty, ∥g_{n}∥_{L^{2}} = 1, lim g_{n} ∗(g_{n})^{∗} = 1 jednostajnie na podzbiorach zwartych G. Pokazać że jeśli G jest grupą ze średnią zaś T jest operatorem ograniczonym na L^{p}(G) komutującym z prawymi przesunięciami to istnieje ciąg funkcji K_{n} ∈ L^{1}(G) taki że dla

T_{n}f = K_{n} ∗ f

zachodzi

∥T_{n}∥L^{p}(G) → L^{p}(G) ≤ ∥T ∥_{L^{p}(G)→L^{p}(G)}
T_{n} → T

w topologii mocnej zbieżności operatorów. Ponadto, jeśli T ∈ C^{∗}(G) to T_{n} zbiega do T w C^{∗}(G).