1. Niech L będzie dodatnio określonym generatorem półgrupy miar z gęstościami w L^{2}(G) (G jest grupą Liego). Pokazać że istnieje miara μ na półprostej, taka że dla F ∈ L^{∞}(μ) ∩ L^{2}(μ) operator F (L) (a priori zdefiniowany przy pomocy twierdzenia spektralnego) jest postaci

F (L)f = K_{F} ∗ f

przy tym ∥K_{F} ∥_{L^{2}(G)} = ∥F ∥_{L^{2}(μ)}.

2. Niech L będzie dodatnio określonym podlaplasianem, V domknieciem podprzestrzeni rozpietej przez jądro ciepła w przestrzeni dystrybucji, zaś μ miarą z zadania 1. Pokazać że dla λ ze spektrum L istnieją funkcje gładkie ϕ_{λ} ∈ V take że Lϕ_{λ} = λϕ_{λ}. Ponadto dla F ∈ L^{∞}(μ) ∩ L^{2}(μ) zachodzi

K_{F} = ∫ F (λ)ϕ_{λ}dμ(λ)

oraz

F (λ) = ∫_{G} K_{F} (x)ϕ_{λ}(x)dx

3. Przypominam że dla grupy G z mnożeniem zadanym wzorem

(s_{1}, x_{1}, y_{1})(s_{2}, x_{2}, y_{2}) = (s_{1} + s_{2}, exp(s_{2})x_{1}, x_{2}, exp(s_{2})y_{1} + y_{2})

odległość od zera jest zadana wzorem r = arc cosh((exp(s) + exp(−s)(1 + x^{2} + y^{2}))/2), zaś jądro ciepła wzorami:

ϕ_{0} = exp(−s)\frac{r}{sinh(r)},

p_{t} = cT^{−3/2}ϕ_{0} exp(−r^{2}/(4t).

Sprawdzić że lim t∥SXp_{t}∥_{L^{1}} = ∞ dla t → ∞.

4. Niech G będzie grupą ze zwartą podgrupą K. Pokazać że funkcje całkowalne dwustronnie K niezmiennicze tworzą algebrę ze względu na splot. Zakładamy że dla dowolnego x zachodzi x^{−1} ∈ KxK. Pokazać że wtedy splot funkcji dwustronnie K niezmienniczych jest przemienny. Ponadto funkcjonały multyplikatywne na algebrze ciągłych funkcji dwustronnie K niezmienniczych o nośniku zwartym są wyznaczone przez całkowanie z ciągłą funkcją dwustronnie K niezmienniczą (funkcje wyznaczające funkcjonały multyplikatywne nazywami funkcjami sferycznymi). Jeśli L jest dwustronnie K niezmienniczym laplasianem to funkcje sferyczne są funkcjami własnymi L i są gładkie.

5. Niech G będzie grupą macierzy zespolonych 2 na 2 o wyznaczniku 1, zaś K ⊂ G (pod)grupą macierzy unitarnych. Pokazać że para (G, K) spełnia warunek x^{−1} ∈ KxK z poprzedniego zadania. Niech A ⊂ G będzie podgrupą macierzy diagonalnych z rzeczywitymi, dodatatnimi elementami na diagonali. Pokazać że funkcja dwustronnie K niezmiennicza jest wyznaczona jednoznacznie przez obcięcie do A. Wyznaczyć działanie laplasianu na funkcjach dwustronnie K niezmienniczych w terminach ich obcięcia do A.