Funkcję modularną m definujemy wzorem:

∫_{G} f(xg)dx = m(g) ∫_{G} f(x)dx

gdzie całkowanie jest względem lewostronnie niezmienniczej miary Haara. 1. Pokazać że m(x)dx jest prawostronnie niezmienniczą miarą Haara.

2. Na miarach zespolonych definujemy inwolucję ^{∗} wzorem μ^{∗}(A) = \overline{μ(A^{−1})}, gdzie A^{−1} = {x^{−1} : x ∈ A}. Podobnie, na dystrybucjach definiujemy inwolucję wzorem ⟨μ^{∗}, ϕ⟩ = \overline{⟨μ, ϕ̌⟩} gdzie ϕ̌(x) = ϕ(x^{−1}). Pokazać że dystrybucyjna definicja rozszerza tę dla miar, na funkcjach obie prowadzą do wzoru f^{∗}(x) = m(x)\overline{f(x^{−1})}. Ponadto (μ_{1} ∗ μ_{2})^{∗} = μ_{2}^{∗} ∗ μ_{1}^{∗}.

3 Pokazać że

∥f ∗ g∥_{L^{r}(G)} ≤ ∥f∥_{L^{p}(G)}∥m^{s}g∥_{L^{q}(G)}

gdzie 1/r = 1/p + 1/q − 1, s = 1 − 1/p.

4 Pokazać że jeśli f jest klasy C^{∞} z lewej strony, tzn. kolejne nakładanie dowolnych prawostronnie niezmienniczych pól wektorowych na f daje funkcje ciągłe, to f jest C^{∞} z prawej strony, tzn. kolejne nakładanie dowolnych lewostronnie niezmienniczych pól wektorowych na f daje funkcje ciągłe. Oba te warunki są równoważne temu że f jest C^{∞} jako funkcja na rozmaitości.

Krzywą γ, Lipschitzowską względem pewnej metryki Riemmana na G, nazywamy geodetyką dla metryki sterowania optymalnego jeśli istnieje ϵ > 0 takie że d(γ(t), γ(s)) = t − s dla ϵ > t − s > 0.

5. Pokazać że jeśli γ jest krzywą w trójwymiarowej grupie Heisenberga, której rzut na płaszczyznę x, y jest krzywą zamkniętą to przyrost współrzędnej z jest proporcjonalny do pola ograniconego przez rzut γ na płaszczyznę x, y. Wywnioskować stąd że geodetyki na grupie Heisenberga mają rzut na płaszczyznę x, y który albo jest prostą, albo łukiem okręgu.