1. Grupę “ax+b” utożsamiamy z ℝ^{2} z działaniem:

(x_{1}, y_{1})(x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, e^{x_{2}}y_{1} + y_{2})

Niech X = ∂_{x}, Y = e^{x}∂_{y}. Rozważamy metrykę sterowania optymalnego d związaną z polami X i Y. Pokazać że jesli γ : [0, t] ↦ G jest taka że najpierw poruszamy się w kierunku pola X + Y zaś później w kierunku pola −X + Y to przyrost y wzdłóż γ jest większy niż przyrost y wzdłóż dowolnej krzywej dopuszczalnej o długości t i tej samej co γ wartości x na końcu (oczywiście γ ma długość większą niż t).

Niech h(x, y) = max(|x|, −x + 2 log(|y|)). Bez obliczania d (jest jawny wzór) pokazać że

h(x, y/2) ≤ d((x, y), 0) ≤ h(x, y) + 1

.

Wskazówka: γ daje oszacowanie z dołu. Prosta modyfikacja γ daje oszacowanie z góry.

2. Pokazać że jeśli ω ≥ 0 jest podaddytywna, 0 < a ≤ 1 to ω^{a} też jest podaddytywna. Podobnie, jeśli b > 0, to (1 + ω)^{b} jest podmultyplikatywna.

3. Dla 1 ≤ p < ∞ definujemy ∥f∥_{L^{p}(ω)} = ∥ω^{1/p}f∥_{L^{p}} zaś L^{p}(ω) to zbiór funkcji dla których ta norma jest skończona. Pokazać że jeśli L^{p} jest względem lewostronnej miary Haara i ω jest podmultyplikatywna to

∥f ∗ g∥_{L^{p}(ω^{p})} ≤ ∥f∥_{L^{1}(ω)}∥g∥_{L^{p}(ω^{p})}

4 Zakładamy że ϕ_{n} ≥ 0, ∫ ϕ_{n} = 1 i że dla każdego otoczenia jedynki U zachodzi lim_{n→∞} ∫_{G−U} ϕ_{n} = 0. Ponadto niech f ∈ L^{p}(G), 1 ≤ p < ∞. Pokazać że wtedy ϕ_{n} ∗ f → f w L^{p}(G). Jeśli założymy że dla każdego otoczenia jedynki U dla dużych n zachodzi ϕ_{n}(x) = 0 dla x ∉ U to dodatkowo f ∗ ϕ_{n} → f.

5 Zakładamy że h jest funkcją podaddytywną, K ⊂ {x : |h(x)| ≤ 1}, K = K^{−1}, Pokazać że jeśli ϕ ≥ 0, ∫ ϕ = 1, ϕ(x) = 0 dla x ∉ K, to |ϕ ∗ h − h| ≤ 1. Jeśli zamiast tego założymy że ∫ |ϕ| = 1, ∫ ϕ = 0, ϕ(x) = 0 dla x ∉ K, to |ϕ ∗ h| ≤ 1.

6 Niech X bedzie prawostronnie niezmienniczym polem wektorowym na G, zaś 1 ≤ p < ∞. Zakładamy że f jest dystrybucją na G taką że f ∈ L^{p}(G) i Xf ∈ L^{p}(G), gdzie na razie Xf jest zdefinowane jako pochodna dystrybucyjna. Pokazać że istnieje ciąg f_{n} funkcji gładkich o nośnikach zwartych, taki że f_{n} → f i Xf_{n} → Xf w L^{p}(G). Innymi słowy, jeśli za dziedzinę X na L^{p}(G) przyjmiemy zbiór f jak wyżej, to X jest domknięciem swojego ograniczenia do funkcji gładkich o nośnikach zwartych.

Wskazówka: Najpierw przy pomocy zadania 2 zbudować ciąg g_{n} funkcji gładkich, ale bez zwartego nośnika. Nastepnie pokazać że g_{n} można przybliżać funkcjami gładkimi postaci w_{m}g_{n} gdzie w_{m} = ϕ ∗ χ_{m}, zaś χ_{m} jest ciągiem funkcji wspólnie ograniczonych o nośnikach zwartych zbieżnym jednostajnie na zbiorach zwartych do 1.