1. Zakładamy że e^{sd(x,e)}f(x) ≤ e^{s^{m}} dla każdego s > 0 i ustalonego m > 1. Pokazać że wtedy

f(x) ≤ e^{−(m−1)(d(x,e)/m)^{m/(m−1)}}

2. Niech f będzie funkcją gładką o nośniku zwartym ma prostej. Pokazać że dla 0 ≤ k ≤ n

∥f^{(k)}∥_{L^{2}} ≤ ∥f∥_{L^{2}}^{(n−k)/n}∥f^{(n)}∥_{L^{2}}^{k/m}

gdzie f^{(k)} oznacza k-tą pochodną.

3. Niech f ∈ L^{2}([0, 1]). Zakładamy że druga pochodna dystrybucyjna f leży w L^{2}. Pokazać że wtedy pierwsza pochodna f też jest w L^{2} i

∥f′∥_{L^{2}(I)} ≤ C_{I}(∥f∥_{L^{2}([0,1])} + (∥f∥_{L^{2}([0,1])}∥f′′∥_{L^{2}([0,1])})^{1/2})

gdzie I jest przedziałem domkniętym zawartym w (0, 1), zaś C_{I} zależy tylko od I.

4. Niech d będzie metryką sterowania optymalnego dla pól X_{i}, i = 1, …, n. Pokazać że dla ustalonych 0 < k < n istnieją c i C takie że

∥e^{cd(x,e)}X_{i}^{k}f∥_{L^{2}(G)} ≤ C(∥e^{d(x,e)}f∥_{L^{2}(G)} + ∥e^{d(x,e)}f∥_{L^{2}(G)}^{(n−k)/n}∥X_{i}^{n}f∥_{L^{2}(G)}^{k/n})

dla dowolnego f takiego że prawa strona ma sens.