1. Zakładamy że Y_{1} i Y_{2} są niezależnymi zmiennymi losowymi of wartościach w grupie Liego G i rozkładach μ_{i} (i = 1, 2). Pokazać że Y_{1}Y_{2} ma rozkład μ_{1} ∗μ_{2}. Ponadto rozkładem Y_{1}^{−1} jest odbicie μ̂_{1} (przypominam że μ̂(A) = μ(A^{−1}). Dodatkowo, ⟨μ̂ ∗ f, g⟩ = ⟨f, μ ∗ g⟩ (tzn. odbicie miary odpowiada przejściu do operatora sprzężonego dla splotu).

2. Niech V będzie przestrzenią Banacha. Mówimy że wektor w ∈ V^{∗}, ∥w∥ = 1, wylicza normę v ∈ V jeśli ∥v∥ = ⟨v, w⟩. Powiemy że operator A jest dyssypatywny jeśli dla każdego v z dziedziny A i dowolnego w ∈ V^{∗} wyliczającego normę v mamy ℜ(⟨Av, w⟩) ≤ 0. Pokazać że gdy V jest przestrzenią Hilberta to wektor wyliczający normę to dodatnia wielokrotność v a warunek dyssypatywności to ujemna określoność częsci hermitowskiej A. Jeśli V to przestrzeń funkcji ciągłych dążących do 0 w nieskończoności to funkcjonał wyliczajcy normę f to odpowiednia wielokrotność miary jednostkowej skupionej w maksimum modułu f. Jeśli moduł f osiąga maksimum w więcej niż jednym punkcie to jest wiele funkcjonałów wyliczających normę.

3. Zakładamy że rodzina operatorów T (t) ∈ B(V), t > 0 jest półgrupą kontrakcji, tzn, T (t_{1}+t_{2}) = T (t_{1})T (t_{2}) i ∥T (t)∥ ≤ 1. Niech A będzie generatrem T (t), tzn.

Av = lim_{t→+0} t^{−1}(T (t) − I)v

przy tym dziedzina A to zbiór tych wektorów dla których granica istnieje. Pokazać że A jest dyssypatywny.

4. Niech Y_{i,j} będą zmiennymi losowymi, takimi że przy ustalonym j zmiene Y_{i,j} są niezależne i mają jednakowy rozkład p_{2^{−j}} (gdzie p_{t} jest jądrem ciepła dla operatora L = − ∑ X_{j}^{2}). Niech Z_{i,j} będą zmiennymi losowymi spełniającymi Z_{0,j} = e, Z_{i+1,j} = Y_{i,j}Z_{i,j}. Niech

q(k, j, λ) = P (max_{i<2^{k}}{d(Z_{i+1,j}, e)} > λ)

Zauważyć że

q(k + 1, j, λ) ≤ q(k, j, λ) + P (d(Z_{2^{k},j}, e) > α) + q(k, j, λ − α)

Bazując na tym pokazać że

lim_{λ→∞} sup_{j} q(j, j, λ) = 0

5. Niech L_{n} będzie ciągiem operatorów dodatnio określonych (samosprzężonych) na przestrzeni Hilberta H, niech L będzie operatorem dodatnio określonym (samosprzężonym) na H i niech V będzie podprzestrzenią gęstą H taką że V jest zawartą w dziedzinie L i w dziedzinie L_{n} dla dowolnego n. Zakładamy że L jest istotnie samosprzężony na V, tzn. domknięcie L obciętego do V to z powrotem L. Pokazać że jeśli L_{n}v → Lv na V to (I + L_{n})^{−1}v → (I + L)^{−1}v na H. Ponadto exp(−tL_{n})v → exp(−tL_{n})v na H.

Wskazówka: Niech R = (I+L)^{−1} i R_{n} = (I+L_{n})^{−1}v. Wiedząc że R_{n}v → Rv dla v ∈ H pokazać że P (R_{n})v → P (R)v dla v ∈ H i dowolnego wielomianu P. Stąd wywnioskować że F (R_{n})v → F (R)v dla v ∈ H i dowolnej funkcji ciągłej F.

6. Lokalne centralne twierdzenie graniczne. Niech μ_{n} będzie ciągiem symetrycznych (tzn. takich że μ_{n}(A^{−1}) = μ_{n}(A) dla dowolnego borelowskiego A) miar probabilistycznych na G takim że n(μ_{n} ∗ f − f)(e) → −Lf(e) dla dowolnej f ∈ C_{c}^{∞}(G) (gdzie L = − ∑ X_{i}^{2} jest podlaplasianem). Pokazać że wtedy dla dowolnego otoczenia jedynki U o domknięciu zwartym mamy nμ_{n}(G − U) → 0. Ponadto n ∫_{U} d(x, e)^{2}dμ_{n}(x) jest ograniczone i n(μ_{n} ∗ f − f) → −Lf w L^{2}(G). Rozważając L_{n}f = −n(μ_{n}∗f−f) pokazać że exp(−tL_{n})f → p_{t}∗f dla f ∈ L^{2}(G) (gdzie p_{t} jest jądrem ciepła dla L). Zapisując exp(−tL_{n}) jako szereg i porównując wyrazy pokazać że μ_{n}^{(n)}f → p_{1} ∗ f.

Uwaga: Symetria μ_{n} jest potrzebna by użyć zadanie 5. Ale wynik zadania 5 można uzyskać trochę inną metodą bez założenia samosprzężoności co pozwala usunąć założenie symetrii z zadania 6.