Niech B będzie przestrzenią Banacha. Powiemy że rodzina operatorów T (t), t ≥ 0 jest mocno ciągłą półgrupą operatorów na B jeśli T (t_{1} + t_{2}) = T (t_{1})T (t_{2}) dla t_{1}, t_{2} ≥ 0, T (0) = I i lim_{t→+0} T (t)v = v dla dowonego v ∈ B gdzie zbieżność jest normowa w B. Powiemy że T (t), t ≥ 0 jest słabo ciągłą półgrupą operatorów jeśli spełnia takie same warunki, ale w granicy mamy zbieżność słabą. Powiemy że T (t) jest półgrupą kontrakcji jeśli ∥T (t)∥ ≤ 1 dla dowolnego t ≥ 0.

Generator A półgrupy T (t) definujemy jako

Av = lim_{t→+0} t^{−1}(T (t) − I)v

przy tym dziedzina A to zbiór tych wektorów dla których granica istnieje.

1. Pokazać że jeśli T (t) słabo ciągłą półgrupą operatorów na B to istnieje stała C taka że ∥T (t)∥ ≤ C exp(Ct).

2. Pokazać że jeśli T (t) mocno ciągłą półgrupą operatorów na B to

∫_{0}^{s} T (t)vdt

leży w dziedzinie generatora A. Ponadto

lim_{s→+0} s^{−1} ∫_{0}^{s} T (t)vdt = v

dla dowonego v ∈ B, czyli A ma gęstą dziedzinę.

3. Pokazać że jeśli T (t) mocno ciągłą półgrupą operatorów na B zaś v leży w dziedzinie generatora to t ↦ T (t)v jest różniczkowalna. Jeśli dodatkowo T (t) jest półgrupą kontrakcji to

∥T (t)v − T (s)v∥ ≤ |t − s|∥Av∥

4 Pokazać że jeśli T (t) mocno ciągłą półgrupą kontrakcji na B to

(λI − A)^{−1} = ∫_{0}^{∞} T (t) exp(−λt)dt

dla λ > 0. W szczególności λI − A jest odwracalny.

5 Niech B = L^{2}([0, 1]). T (t)f(x) = f(t + x) dla t + x ≤ 1, i jest zerem poza tym. S(t)f(x) = f(t + x) gdzie dodawanie jest modulo 1. Wyznaczyć generatory T (t) i S(t).

6 Zakładamy że S(t) i T (t) są komutującymi (tzn. T (t_{1})S(t_{2}) = S(t_{2})T (t_{1})) półgrupami kontrakcji z generatorami A i B odpowiednio. Niech v będzie wektorem z przekroju dziedzin A i B. Pokazać że

∥T (t)v − S(t)v∥ ≤ t∥Av − Bv∥

Wskazówka: Użyć wzór T (t)v − S(t)v = ∫_{0}^{t} T (t − s)(A − B)S(s)ds

7. Zakładamy że operator A jest dyssypatywny i dla pewnego λ > 0 operator λI − A jest odwracaly. Pokazać że wtedy dla dowolnego λ > 0 operator λI − A jest odwracaly zaś (I −λA)^{−1} jest kontrakcją. Ponadto operator A_{λ} = λ^{−1}((I − λA)^{−1} − I) = A(I − λA)^{−1} jest dyssypatywny, ograniczony i lim_{λ→+0} A_{λ}v = Av dla v z dziedziny A. Wywnioskować stąd że A jest generatorem półgrupy kontrakcji T (t), przy tym T (t) = lim T_{λ}(t) gdzie T_{λ} = exp(A_{λ}).