1. Niech ϕ będzie nieujemną funkcją taką że ∫_{d(x,e)<1} d(x, e)ϕ(x)dx < ∞ i ∫_{d(x,e)≥1} ϕ(x)dx < ∞ dla pewnej metryki Riemmana d. Pokazać że wtedy operator A zadany wzorem:

Af(x) = ∫ (f(y^{−1}x) − f(x))ϕ(y)dy

jest generatorem półgrupy kontrakcji na C_{0}(G) (przestrzeń funkcji ciągłych, dążących do 0 w nieskończoności), dokładniej, półgrupy operatorów splotu z miarami probabilistycznymi. Jeśli ∫ ϕ(x)dx = ∞ to te miary mają gęstości.

Wskazówka: Przybliżać A operatorami podobnej postaci, ale takimi że całkowanie jest po dopełnieniu otoczenia e.

2. Niech ϕ_{α} : ℝ ↦ ℝ dla α ∈ (0, 1) będzie zadane wzorem: ϕ_{α} = x^{−α−1} dla x > 0 i 0 poza tym. Sprawdzić że ϕ_{α} spełnia warynki z zadania 1. Niech h_{α}(t, x) będzie gęstością miary odpowiadającą exp(tA) gdzie A jest operatorem z zadania 1 odpowiadającym ϕ_{α}. Pokazać że h_{α}(t, x) = 0 dla x ≤ 0.

Niech L będzie podlaplasianem na G. Niech T (t) = ∫ h_{α}(t, s) exp(−sL)ds. Pokazać że T (t) jest półgrupą operatorów splotu z miarami probabilistycznymi i że generator B półgrupy T (t) jest zadany wzorem

Bv = ∫_{0}^{∞} s^{−α−1}(exp(−sL) − I)vds.

Ponadto B = −\frac{Γ(1−α)}{α}L^{α}.