1. Niech X będzie przestrzenią lokalnie zwartą zaś T (t) będzie mocno ciągłą półgrupą kontrakcji na C_{0}(X). Definiujemy funkcjonały ϕ_{x} wzorem:

ϕ_{x}(f) = lim_{t→+0} t^{−1}(T (t) ∗ f − f)(x)

gdzie dziedziną jest zbiór tych funkcji dla których granica istnieje. Niech V będzie przestrzenią tych f że f ∈ D(ϕ_{x}) dla dowolnego x i (Bf)(x) = ϕ_{x}(f) należy do C_{0}(X). Pokazać że tak zdefiniowany B z dziedziną V jest równy generatorowi A półgrupy T (t).

Wskazówka: Jeśli A ⊂ B, A jest generatorem, B jest dyssypatywny, to A = B.

2. Niech T (t) będzie mocno ciągłą półgrupą splotową miar na grupie lokalnie zwartej G, tzn. T (t)f = μ_{t} ∗ f. Pokazać że wtedy

ϕ_{T} (f) = lim_{t→+0} t^{−1}(μ_{t} ∗ f − f)(e)

jest gęsto zdefiniowanym funkcjonałem na C_{0}(G), przy tym wszystkie funkcje znikające w pewnym otoczenio e należą do dziedziny ϕ_{T}, a po obcięciu do takich funkcji ϕ_{T} jest równe mierze dodatniej ν, lokalnie skończonej na G − {e}. Następnie, generator A półgrupy T (t) jest zadany wzorem Af(x) = ϕ_{T} (f(·x)), z dziedziną będącą zbiorem tych funkcji dla których prawa strona ma sens i należy do C_{0}(G). Ponadto, jeśli G jest grupą Liego to funkcje z C_{0}(G) mające dwie lewe pochodne w C_{0}(G) należą do dziedziny A. Wywnioskować stąd że A = L + A_{ν} gdzie

A_{ν}f(x) = ∫_{G}(f(y^{−1}x) − f(x) − ∑_{j} χ_{U}y_{j}Y_{j}f(x))dν(x),

U jest otoczeniem e, y_{j} są współrzędnymi na U, Y_{j} są polami wektorowymi odpowiadającymi y_{j} (tzn. Y_{j}f(e) = ∂_{y_{j}}f(e)), zaś L = ∑_{i=1}^{l} X_{i}^{2} + X_{0} jest podlaplasianem z dryfem i że każdy A takiej postaci jest generatorem półgrupy miar.

Wskazówka: Zauważyć że półgrupa zachowuje przestrzeń funkcji mających dwie prawe pochodne w C_{0}(G) i wyciągnąć stąd wnioski o ϕ_{T}.

3. Niech X będzie polem wektorowym na grupie Liego G, zaś ρ będzie ciągłą (jako funkcja z G × E do E) reprezentają G na przestrzeni wektorowotopologicznej E. Operator ρ(X) definiujemy wzorem

ρ(X)v = lim_{t→0} t^{−1}(ρ(exp(tX)) − I)v

przy tym dziedziną jest zbiór tych wektorów że granica istnieje. Pokazać dla v ∈ D(ρ(X)) odwzorowanie t ↦ ρ(exp(tX)v jest C^{1}. Jeśli X_{i}, i = 1, …, n stanowią bazę algebry Liego G, v ∈ D(ρ(X_{i})), i = 1, …, n to odwzorowanie x ↦ ρ(x)v jest C^{1} na G. Wywnoskować stąd że v jest w dziedzinie dowolnego produktu X_{i} wtedy i tylko wtedy gdy odwzorowanie x ↦ ρ(x)v jest C^{∞} na G (takie v nazywamy wektorami gładkimi).

Uwaga: Nadużywając jęzka nazywamy tak zdefiniowane odwzorwanie algebry Liego reprezentacją, jednakże faktycznie jest to antyreprezentacja, tzn. ρ([X, Y]) = [ρ(Y), ρ(X)]. Aby dostać reprezentację należałoby zmienić znak przy X w definicji ρ(X) (lub zmienić znak w definicji przyporządkowującej elementom algebry Liego pola wektorowe).

4. Rozpatrujemy teraz ciągłe reprezentacje na przestrzeni Banacha. Niech

ρ(f)v = ∫_{G} f(x)ρ(x)dx

Pokazać że dla f ∈ C_{c}^{∞}(G) powyższa definicja ma sens dla dowolnego v i ρ(f)v jest wektorem gładkim. Zauważyć że jeśli ϕ jest dystrybucją o nośniku zwartym to obraz ϕ przez ρ ma naturalną definicję na wektorach gładkich.

5. Niech G będzie spójną grupą Liego. Pokazać że jeśli ϕ_{n} jest gładką splotową jedynką aproksymatywną, tzn ϕ_{n} ∈ C_{c}^{∞}(G), dla dowolnego otoczenia e ∈ U supp(ϕ_{n}) ⊂ U dla dużych n, ∫ ϕ_{n} = 1, ϕ_{n} ≥ 0, ∫ d(x, e)|∇ϕ_{n}| < C ze stałą niezależną od n, to lim X(ϕ_{n} ∗ f)(e) = lim ϕ_{n} ∗ Xf(e) = Xf(e) dla dowolnego f ∈ C^{1}(G). Wywnioskować stąd że jeśli ρ_{i}, i = 1, 2 są ciągłymi reprezentacjami G na przestrzeni Banacha E, takimi zbiory wektorów gładkich dla ρ_{i} są równe oraz dla dowolnego X z algebry Liego G i dowolnego wektora gładkiego ρ_{1}(X)v = ρ_{2}(X)v to ρ_{i} są równe. Innymi słowy, reprezentacja algebry Liego jednoznacznie wyznacza reprezentację grupy Liego.

6. Niech G będzie grupą Heisenberga H_{1} z mnożeniem zadanym wzorem

(x_{1}, y_{1}, z_{1})(x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2} + x_{2}y_{1})

zaś X = ∂_{x}, Y = ∂_{y} + x∂_{z}, Z = ∂_{z} będą polami wektorowymi. Sprawdzić że wzór ρ((x, y, z))f(s) = exp(i(y(s + x) − z))f(s + x) zadaje reprezentację H_{1} na L^{2}(ℝ). Obliczyć obrazy pól X, Y i Z. Wywnioskować stąd że dowolny operator różniczkowy o współczynnikach wielomianowych na ℝ jest obrazem operatora prawostronnie niezmienniczego na H_{1}.

7. Rozważamy na ℝ^{n} skończoną rodzinę operatorów, składającą się z pochodnych względem współrzędnych i z mnożenia przez pewne wielomiany. Pokazać że rodzina ta generuje skończenie wymiarową nilpotentną algebrę Liego. Opisać odpowiadającą jej grupę Liego G. Znaleźć reprezentację G taką że operatory z których wystartowaliśmy są obrazami przez reprezentację generatorów algebry Liego G.

8. Pokazać że jeśli G = ℝX ⊕ ⊕_{i}V_{i} jest grupą jednorodną z dylatacjami takimi że δ(t)x = t^{α_{i}}x na V_{i}, V_{i} są przemienne, A_{i} jest dodatnio określonym operatorem eliptycznym na V_{i} rzędu m/α_{i}, X jest polem wektorowym jednorodynym rzędu m, to A = ∑ A_{i} + X spełnia warunek Rocklanda (na wektorach gładkich).

Wskazówka: Jeśli v jest wektorem gładkim, x ∈ V_{i} to

⟨A_{i}v, v⟩ = ⟨A_{i}ρ(x)v, ρ(x)v⟩ = lim c_{R} ∫_{|x|<R}⟨A_{i}ρ(x)v, ρ(x)v⟩dx.