1. Niech A będzie pierścieniem z jedynką, zaś M będzie A-modułem (reprezentacją A). Dla v ∈ M niech I_{v} = {a ∈ A : av = 0}. Pokazać że I_{v} jest lewym ideałem w A. Następnie, I_{v} jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy Av ⊂ M jest reprezentacją nieprzywiedlną (modułem prostym). Ponadto pary (M, v) gdzie v ∈ M i Av = M są w 1-1 odpowiedniości z lewymi ideałami I_{v}.

Gdy dodatkowo A jest algebrą Banacha, zaś M jest przestrzenią Banacha, to I_{v} jest ideałem domkniętym.

2. Niech A będzie algebrą nad ℂ z inwolucją. Mówimy że funkcjonał ϕ na A jest dodatni jeśli ϕ(x^{∗}x) ≥ 0 (gdzie ∗ oznacza inwolucję). Niech A_{ϕ} = {x ∈ A : ϕ(x^{∗}x) = 0}. Pokazać A_{ϕ} jest podprzestrzenią liniową i że wzór

⟨x + A_{ϕ}, y + A_{ϕ}⟩ = ϕ(y^{∗}x)

definiuje iloczyn skalarny na E_{ϕ} = A/A_{ϕ}. Przy tym mnożenie z lewej strony przez elementy A prowadzi do ∗-reprezentacji A. Jeśli A jest algebrą Banacha a inwolucja jest ciągła, to tą ∗-reprezentację można rozszerzyć do uzupełnienia H_{ϕ} przestrzeni E_{ϕ}. Jeśli ponadto A ma jedynkę aproksymatywną x_{α} (tzn. x_{α} jest ciągiem uogólnionym takim że ∥x_{α}∥ ≤ C i dla dowolnego x ∈ A mamy lim x_{α}x = lim xx_{α} = x) to istnieje v ∈ H_{ϕ} o normie 1 taki że ϕ(x) = ⟨xv, v⟩.

Wskazówka: Rekursywnie użyć wzór

∥xy∥_{H_{ϕ}} ≤ ∥x^{∗}xy∥_{H_{ϕ}}^{1/2}∥y∥_{H_{ϕ}}^{1/2}

do pokazania że

∥xy∥_{H_{ϕ}} ≤ (C∥(x^{∗}x)^{2^{n−1}}∥_{A}∥y∥_{A})^{2^{−n}}∥y∥_{H_{ϕ}}^{1−2^{−n}}.

3. Niech A będzie algebrą Banacha z ciągłą inwolucją zaś ϕ będzie funkcjonałem dodatnim na A. Pokazać że ∗-reprezentacja odpowadająca ϕ jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy gdy ϕ nie da się przedstawić w postaci ϕ = aϕ_{1}+bϕ_{2} z a, b > 0 i ϕ_{i} dodatnimi, nie będącymi wielokrotnościami ϕ (innymi słowy, ϕ jest elementem extremalnym stożka funkcjonałów dodatnich).

4. Niech A będzie C^{∗}-algebrą z jedynką, zaś I bedzie podprzestrzenią w A niezmienniczą na ∗ i taką że inf_{x∈I} ∥1−x∥ = 1. Funkcjonał ϕ definiujemy w ten sposób że na I jest równy 0, zaś ϕ(1) = 1. Następnie rozszerzamy go z zachowaniem normy na A, tak by ϕ(x^{∗}) = \overline{ϕ(x)}. Pokazać że tak rozszerzony ϕ jest funkcjonałem dodatnim na A. Jeśli I jest ideałem dwustronnym, to leży on w jądrze reprezentacji odpowiadającej ϕ. Jeśli J jest nietrywialnym ideałem lewostronnym to I = lin{x^{∗}x : x ∈ J} spełnia warunek wyżej zaś odpowedni funkcjonał dodatni znika na J. Ponadto istnieje funkcjonał ekstremalny w stożku funkcjonałow dodatnich znikający na J. Innymi słowy, istnieje ∗-reprezentacja nieprzywiedlna ρ algebry A i wektor v takie że Jv = 0.

5. Niech ρ będzie reprezentacją unitarną ℝ^{n} na ośrodkowej przestrzeni Hiblerta W. Pokazać że istnieje miara μ na ℝ^{n}, przestrzeń Hilbera V i izometryczne włożenie ι : W ↦ L^{2}(μ, V), takie że ι splata ρ (splata ozancza że ιρ(x) = η(x)ι) i poniżej zdefiniowaną reprezentację η:

(η(x)f)(y) = exp(i⟨x, y⟩)f(y).

ι można wybrać tak by V = l^{2}, zaś obraz ι miał postać {f : f(x) ∈ V_{x}} z przestrzenią V_{x} składającą się z wektorów postaci (a_{1}, a_{2}, …, a_{N(x)}, 0, …) gdzie N jest funkcją μ-mierzalną, która może przyjmować wartość ∞ (N(x) = ∞ oznacza że V_{x} = l^{2}). Klasa równoważności μ i N nie zależy od wyboru ι (tzn. μ_{ι_{1}} = fμ_{ι_{2}}, i {x : N_{1}(x) ≠ N_{2}(x)} jest miary 0). Ponadto każdy operator komutujący w wszystkimi ρ(x) ma postać

(T f)(x) = U(x)f(x)

gdzie U jest μ-mierzalną funkcją o wartościach operatorowoch (mierzalność jest względem topologii mocnej zbieżności operatorów).

6. Na grupie “ax + b” mnożenie zadajemy wzorem:

(x_{1}, y_{1})(x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, e^{−x_{2}}y_{1} + y_{2})

Niech N będzie podgrupą elementów postaci (0, y), zaś ρ unitarną reprezentacją nieprzywiedlną grupy “ax + b” na przestrzni Hilberta H, nietrywialną na N. Rozważamy rozkład ρ obciętego do N jak w zadaniu 4. Pokazać że jako μ można wziąść miarę Lebesgua na półprostej, zaś krotność N jest równa 1. ρ jest równoważna z reprezentacją postaci

ρ(x, y)f(s) = exp(ikye^{x+s})f(x + s)

na L^{2}(ℝ) gdzie k = 1 lub k = −1. Ponadto obraz p_{t} przez ρ nie jest operatorem zwartym.

7. Niech A będzie C^{∗}-algebrą (którą utożsamiamy z podalgebrą algebry operatorów na przestrzeni Hilberta), a I ideałem lewostronnym w A. Pokazać że dla funkcji ciągłej f znikającej w 0 i samosprzężongo x ∈ I mamy f(x) ∈ I. Ponadto jeśli I jest ideałem dwustronnym i x ∈ I to x^{∗} ∈ I (czyli I jest ∗- ideałem).

Wskazówka: |x| = (x^{∗}x)^{1/2}, x^{∗} = lim(|x| + s)^{−1}|x|x^{∗}.

8. Niech A będzie algebrą operatorów zwartych na H. Pokazać że A nie ma nietrywialnych domkniętych ideałów dwustronnych, zaś każdy maksymalny ideał lewostronny jest postaci I_{v} = {a ∈ A : av = 0} dla pewnego v ∈ H. Wywnioskować stąd że jedyną nieprzywiedlną ∗-reprezentacją A jest reprezentacja naturalna.

Wskazówka: Zadanie 7 sprowadza problem do operatorów skończenie wymiarowych.