1 Operatory pseudoróżniczkowe

Symbolem rzędu k nazywamy funkcję na ℝ^{n} × ℝ^{n} spełniającą:

|∂_{x}^{α}∂_{ω}^{β}a(x, ω)| ≤ C_{α,β}(1 + |ω|)^{−|β|}

Operatorem pseudoróżniczowym nazywamy operator postaci

a(x, D)f = \frac{1}{(2π)^{n}} ∫ exp(i⟨x, ω⟩)a(x, ω)f̂(ω)dω

gdzie

f̂(ω) = ∫ f(x) exp(−i⟨x, ω⟩)dx

jest transformacją Fouriera f.

Przykłady: pole wektorowe, rzędu 1

a(x, ω) = ∑_{j} if_{j}(x)ω_{j}

mnożenie przez funkcję, rzędu 0

a(x, ω) = f(x)

potęgi laplasianu

a(x, ω) = (1 + |ω|^{2})^{s}

Niech E_{s} będzie operatorem pseudoróżniczkowym z symbolem a(x, ω) = (1 + |ω|^{2})^{s/2}. Dla s > 0 definujemy przestrzeń Sobolewa H(s) jako zbiór funkcji z L^{2} dla których poniższa norma jest skończona:

∥f∥_{H(s)}^{2} = ∥E_{s}f∥^{2} = c_{n} ∫ |f̂|^{2}(ω)(1 + |ω|^{2})^{s}dω.

Dla s < 0 definujemy przestrzeń Sobolewa jako przestrzeń dualną do H(−s), jest ona przestrzenią dystrybucji (powyższy wzór na normę zachowuje sens).

Lemat 1.1 (Sobolewa): Dla s > n/2 przestrzeń Sobolewa jest zawarta w C_{0}(ℝ^{n}).

Piszemy że A ∈ Op(s) jeśli A jest operatorem pseudoróżniczkowym rzędu s. Własności:

• Jeśli A ∈ Op(l_{1}), B ∈ Op(l_{2}) to AB ∈ Op(l_{1} +l_{2}), [A, B] ∈ Op(l_{1} +l_{2} −1), A^{∗} ∈ Op(l_{1}).

• Jeśli A ∈ Op(l) to A jest operatorem ograniczonym z H(s) do H(s + l). W szczególności operatory rzędu 0 są ograniczone na L^{2}.

• dla l ∈ ℝ operator E_{l} jest izometrią H(s + l) z H(s)

Uwaga: Były i są badane bardzo ogólne klasy operatorów pseudoróżniczkowych. Powysza definicja definiuje dość wąską, ale bardzo pożyteczną podklasę.

2 Lemat Kohna

Zakładamy że P = ∑_{i=1}^{n}(−Q_{i}^{2}+A_{i}Q_{i})+Q_{0}+A_{0} gdzie Q_{i} są antysymetrycznymi operatorami pseudoróżniczkowymi rzędu 1, zaś A_{i} są operatorami pseudoróżniczkowymi rzędu 0.

Lemat 2.1 Istnieje stała C taka że dla f ∈ C_{c}^{∞}

∑_{i=1}^{n} ∥Q_{i}f∥_{L^{2}}^{2} ≤ C(ℜ(⟨P f, f⟩) + ∥f∥_{L^{2}}^{2})

i

∥E_{−1/2}Q_{0}f∥_{L^{2}} ≤ C(∥P f∥∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})

P.

⟨P f, f⟩ = ∑_{i=1}^{n}(⟨Q_{i}f, Q_{i}f⟩ + ⟨A_{i}Q_{i}f, f⟩) + ⟨Q_{0}f, f⟩ + ⟨A_{0}f, f⟩

= ∑_{i=1}^{n} ∥Q_{i}f∥_{L^{2}}^{2} + ∑_{i=1}^{n}⟨A_{i}Q_{i}f, f⟩ + ⟨Q_{0}f, f⟩ + ⟨A_{0}f, f⟩

Dalej

|⟨A_{0}f, f⟩| ≤ C∥f∥_{L^{2}}^{2},
|⟨A_{i}Q_{i}, f⟩| ≤ C∥Q_{i}f∥_{L^{2}}∥f∥_{L^{2}}

Ponieważ Q_{0} jest antysymetryczny, więc

ℜ(⟨Q_{0}f, f⟩) = −ℜ(⟨f, Q_{0}f⟩) = −ℜ(⟨Q_{0}f, f⟩)

czyli ℜ(⟨Q_{0}f, f⟩) = 0. Łącznie

∑_{i=1}^{n} ∥Q_{i}f∥_{L^{2}}^{2} ≤ ℜ(⟨P f, f⟩) + C(∑_{i=1}^{n} ∥Q_{i}f∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})∥f∥_{L^{2}}

≤ ℜ(⟨P f, f⟩) + (1/2) ∑_{i=1}^{n} ∥Q_{i}f∥_{L^{2}}^{2} + (nC^{2} + C)∥f∥_{L^{2}}^{2}

gdzie w ostatniej nierówności zastąpiliśmy średnią geometryczną przez arytmetyczną. Teraz

(1/2) ∑_{i=1}^{n} ∥Q_{i}f∥_{L^{2}}^{2} ≤ ℜ(⟨P f, f⟩) + (nC^{2} + C)∥f∥_{L^{2}}^{2}

co daje pierwszą część lematu.

Chcemy teraz dostać drugą część. Piszemy

⟨P f, E_{−1}Q_{0}f⟩ = ⟨E_{−1/2}Q_{0}f, E_{−1/2}Q_{0}f⟩ + ⟨A_{0}f, E_{−1}Q_{0}f⟩

+ ∑_{i=1}^{n}⟨A_{i}Q_{i}f, E_{−1}Q_{0}f⟩ − ∑_{i=1}^{n}⟨Q_{i}^{2}f, E_{−1}Q_{0}f⟩

Ponieważ E_{−1}Q_{0}f jest rzędu 0 to

|⟨A_{0}f, E_{−1}Q_{0}f⟩| ≤ C∥f∥_{L^{2}}^{2},
|⟨P f, E_{−1}Q_{0}f⟩| ≤ C∥P f∥_{L^{2}}∥f∥_{L^{2}} ≤ C(∥P f∥_{L^{2}}^{2} + ∥f∥_{L^{2}})

Na mocy pierwszej części mamy oszacowane Q_{i}f dla i = 1, …, n, więc

|⟨A_{i}Q_{i}f, E_{−1}Q_{0}f⟩| ≤ C∥Q_{i}f∥_{L^{2}}∥f∥_{L^{2}} ≤ C′(∥P f∥_{L^{2}}^{2} + ∥f∥_{L^{2}}^{2}).

Dalej, dla i = 1, …, n,

−⟨Q_{i}^{2}f, E_{−1}Q_{0}f⟩ = ⟨Q_{i}f, Q_{i}E_{−1}Q_{0}f⟩
= ⟨Q_{i}f, E_{−1}Q_{0}Q_{i}f⟩ + ⟨Q_{i}f, [Q_{i}, E_{−1}Q_{0}]f⟩

czyli

|⟨Q_{i}^{2}f, E_{−1}Q_{0}f⟩| ≤ C(∥Q_{i}f∥_{L^{2}}^{2} + ∥Q_{i}f∥_{L^{2}}∥f∥_{L^{2}})
≤ C_{1}(∥Q_{i}f∥_{L^{2}}^{2} + ∥f∥_{L^{2}}^{2}) ≤ C_{2}(∥P f∥_{L^{2}}^{2} + ∥f∥_{L^{2}}^{2})

Łącznie daje to żądane oszacowanie na ⟨E_{−1/2}Q_{0}f, E_{−1/2}Q_{0}f⟩ = ∥E_{−1/2}Q_{0}f∥_{L^{2}}^{2}. □

Niech

V_{1} = lin{Q_{i}, i = 0, .., n}
V_{2} = [V_{1}, V_{1}] + ℝQ_{0}
V_{i+1} = [V_{1}, V_{i}] + [V_{i−1}, Q_{0}].

Zauważmy że ze względu na wzór

[[A, B], C] = [A, [B, C]] + [[A, C], B] = [A, [B, C]] − [B, [A, C]]

dowolny iterowany komutator operatorów Q_{0}, Q_{1}, …, Q_{n} jest kombinacją liniową elementów V_{i}.

Lemat 2.2 Niech P będzie jak wyżej. Dla Y ∈ V_{i} istnieje stała C_{Y} taka że zachodzi

∥Y f∥_{H(2^{−i+1}−1)} ≤ C_{Y} (∥P f∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})

dla dowolnego f ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}).

P: Dowód jest indukcyjny. Dla i = 1 teza wynika bezpośrednio z 2.1, bo H(2^{−i+1} − 1) = H(0) = L^{2}. Pokażemy teraz że z tezy dla i wynika teza dla teza dla [V_{1}, V_{i}]. Dowolny element z [V_{1}, V_{i}] jest kombinacją liniową elementów postaci [Q_{i}, Q] z Q ∈ V_{i}, a więc wystarczy oszacować

∥[Q_{i}, Q]f∥_{H(2^{−(i+1)+1}−1)} = ∥E_{ϵ/2−1}[Q_{i}, Q]f∥_{L^{2}}

gdzie ϵ = 2^{−i+1}. Piszemy:

∥E_{ϵ/2−1}[Q_{i}, Q]f∥_{L^{2}}^{2} = ⟨E_{ϵ/2−1}[Q_{i}, Q]f, E_{ϵ/2−1}[Q_{i}, Q]f⟩
= ⟨[Q_{i}, Q]f, E_{ϵ−2}[Q_{i}, Q]f⟩ = ⟨[Q_{i}, Q]f, E_{ϵ−1}Af⟩

= ⟨Q_{i}Qf, E_{ϵ−1}Af⟩ − ⟨QQ_{i}f, E_{ϵ−1}Af⟩

gdzie A = E_{−1}[Q_{i}, Q] jest rzędu 0. Następnie:

⟨Q_{i}Qf, E_{ϵ−1}Af⟩ = −⟨Qf, Q_{i}E_{ϵ−1}Af⟩
= −⟨E_{ϵ−1}Qf, AQ_{i}f⟩ − ⟨Qf, [Q_{i}, E_{ϵ−1}A]f⟩
= −⟨E_{ϵ−1}Qf, AQ_{i}f⟩ − ⟨BQf, f⟩

gdzie B = [Q_{i}, E_{ϵ−1}A]^{∗} jest rzędu ϵ − 1.

Teraz:

|⟨E_{ϵ−1}Qf, AQ_{i}f⟩| ≤ ∥E_{ϵ−1}Qf∥_{L^{2}}∥AQ_{i}f∥_{L^{2}}
≤ C_{A}∥Qf∥_{H(ϵ−1)}∥Q_{i}f∥_{L^{2}} ≤ C_{A}C_{Q}C_{i}(∥P f∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})^{2}

gdzie w przedostatniej nierówności skorzystaliśmy z ograniczoności A, a w ostatniej użyliśmy założenie indukcyjne.

Podobnie:

|⟨BQf, f⟩| ≤ ∥BQf∥_{L^{2}}∥f∥_{L^{2}} ≤ C_{B}∥Qf∥_{H(ϵ−1)}∥f∥_{L^{2}}
≤ C_{B}C_{Q}(∥P f∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})^{2}

Dalej:

⟨QQ_{i}f, E_{ϵ−1}Af⟩ = −⟨Q_{i}f, E_{ϵ−1}AQf⟩ − ⟨Q_{i}f, [Q, E_{ϵ−1}A]f⟩
= −⟨Q_{i}f, E_{ϵ−1}AQf⟩ − ⟨DQ_{i}f, f⟩

gdzie D = [Q, E_{ϵ−1}A]^{∗} jest rzędu ϵ − 1. Znowu:

|⟨Q_{i}f, E_{ϵ−1}AQf⟩| ≤ ∥Q_{i}f∥_{L^{2}}∥E_{ϵ−1}AQf∥_{L^{2}}
≤ C′∥Q_{i}f∥_{L^{2}}∥Qf∥_{H(ϵ−1)} ≤ C′C_{i}C_{Q}(∥P f∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})^{2}

gdzie w przedostaniej nierówności użyliśmy ograniczoności A na H(ϵ − 1) a w ostatnie założenie indukcyjne. Ponadto

|⟨Q_{i}f, Df⟩| ≤ C′′∥Q_{i}f∥_{L^{2}}∥f∥_{L^{2}} ≤ C′′C_{i}(∥P f∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})^{2}

Łącznie powyższe nierówności pokazują że

∥E_{ϵ/2−1}[Q_{i}, Q]f∥_{L^{2}}^{2} ≤ C_{[Q_{i},Q]}^{2}(∥P f∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})^{2}

co daje oszacowanie dla [V_{1}, V_{i}].

Teraz checemy oszacować elementy [Q_{0}, V_{i−1}]. Podobnie jak wyżej element z [Q_{0}, V_{i−1}] jest kombinacją liniową elementów postaci [Q_{0}, Q] gdzie Q ∈ V_{i−1} więc jak w pierwszej części dostaniemy

∥[Q_{0}, Q]∥_{H(ϵ/2−1)}^{2} ≤ |⟨Qf, Q_{0}E_{ϵ−1}Af⟩| + |⟨Q_{0}f, QE_{ϵ−1}Af⟩|

Zauważmy że szacowanie obu członów sprowadza się do oszacowania

|⟨Q_{0}f, A_{ϵ−1}Qf⟩|

gdzie A_{ϵ−1} jest operatorem rzędu ϵ − 1. Następnie

⟨Q_{0}f, A_{ϵ−1}Qf⟩ = ⟨P f, A_{ϵ−1}Qf⟩ − ⟨P_{1}f, A_{ϵ−1}Qf⟩

gdzie P_{1} = P − Q_{0}. Oczywiście

|⟨P f, A_{ϵ−1}Qf⟩| ≤ C∥P f∥_{L^{2}}∥Qf∥_{H(ϵ−1)}

co jest oszacowane z założenia indukcyjnego. A więc pozostaje oszacować

⟨P_{1}f, A_{ϵ−1}Qf⟩ = − ∑_{i=1}^{n}⟨Q_{i}^{2}f, A_{ϵ−1}Qf⟩ + ∑_{i=1}^{n}⟨A_{i}Q_{i}f, A_{ϵ−1}Qf⟩ + ⟨A_{0}f, A_{ϵ−1}Qf⟩.

Człon z A_{0} i człony z A_{i}Q_{i} szacujemy bezpośrednio przez normy. Pozostają człony z Q_{i}^{2}:

|⟨Q_{i}^{2}f, A_{ϵ−1}Qf⟩| = |⟨Q_{i}f, Q_{i}A_{ϵ−1}Qf⟩| ≤ ∥Q_{i}f∥_{L^{2}}∥Q_{i}A_{ϵ−1}Qf∥_{L^{2}}

Następnie, na mocy 2.1

∑_{i=1}^{n} ∥Q_{i}A_{ϵ−1}Qf∥_{L^{2}}^{2} ≤ C(ℜ(⟨P A_{ϵ−1}Qf, A_{ϵ−1}Qf⟩) + ∥A_{ϵ−1}Qf∥_{L^{2}})

Mamy P A_{ϵ−1}Qf = A_{ϵ−1}QP f + [P, A_{ϵ−1}Q]f a więc

|(⟨P A_{ϵ−1}Qf, A_{ϵ−1}Qf⟩| ≤ |⟨A_{ϵ−1}QP f, A_{ϵ−1}Qf⟩| + |⟨[P, A_{ϵ−1}Q]f, A_{ϵ−1}Qf⟩|

= |⟨P f, B_{2ϵ−1}Qf⟩| + |⟨[P, A_{ϵ−1}Q]f, A_{ϵ−1}Qf⟩|

gdzie B_{2ϵ−1} = Q^{∗}A_{ϵ−1}^{∗}A_{ϵ−1} jest rzędu 2ϵ − 1. Jako że Q ∈ V_{i−1}, to z założenia indukcyjnego

|⟨P f, B_{2ϵ−1}Qf⟩| ≤ C∥P f∥_{L^{2}}∥Qf∥_{H(2ϵ−1} ≤ C′(∥P f∥_{L^{2}}^{2} + ∥f∥_{L^{2}}^{2}).

A więc pozostaje oszacowanie członu z [P, A_{ϵ−1}Q]. Rozpisując P widać że A_{0} i wyrazy A_{i}Q_{i} nie sprawiają problemu, bo komutatory są rzędu ϵ co można przerzucić na Q. Pozostaje oszacować [Q_{i}^{2}, A_{ϵ−1}Q]:

[Q_{i}^{2}, A_{ϵ−1}Q] = Q_{i}[Q_{i}, A_{ϵ−1}Q]+[Q_{i}, A_{ϵ−1}Q]Q_{i} = 2[Q_{i}, A_{ϵ−1}Q]Q_{i}+[Q_{i}, [Q_{i}, A_{ϵ−1}Q]]

Jako że B′_{ϵ} = [Q_{i}, [Q_{i}, A_{ϵ−1}Q]] jest rzędu ϵ to

|⟨B′_{ϵ}f, A_{ϵ−1}Qf⟩| = |⟨f, B′′_{2ϵ−1}Qf⟩| ≤ C∥f∥_{L^{2}}∥Qf∥_{H(2ϵ−1)}

co już się rutynowo szacuje. Wreszcie D_{ϵ} = [Q_{i}, A_{ϵ−1}Q] jest rzędu ϵ więc

|⟨D_{ϵ}Q_{i}f, A_{ϵ−1}Qf⟩| = |⟨Q_{i}f, D′_{2ϵ−1}Qf⟩| ≤ C∥Q_{i}f∥_{L^{2}}∥Qf∥_{H(2ϵ−1)}

co też się rutynowo szacuje i kończy krok indukcyjny. □

Komentarz: Druga część lematu wygląda dość pokrętnie. Kluczem jest to że w ⟨P f, A_{ϵ−1}Qf⟩ człon z Q_{0} odgrywa istotną rolę, zaś w ⟨P f, Q^{∗}A_{ϵ−1}^{∗}A_{ϵ−1}Qf⟩ ze względu na antysymetrię człon z Q_{0} można pominąć. Przy tym człony kwadratowe drugiego wyrażenia są większe od członów kwadratowych pierwszego.

3 Twierdzenie Hörmandera

Dla U będącego podzbiorem otwartym ℝ^{m} przestrzeń H(s, U) definujemy jako przestrzeń sprzężoną do H_{0}(−s, U) gdzie H_{0}(−s, U) jest domknięciem (w H(−s)) podzbioru dystrybucji z H(−s) o nośniku zawartym w U.

Zakładamy że L = − ∑_{i=1}^{n} X_{i}^{2}+X_{0} gdzie X_{i}, i = 0, …, n są gładkimi polami wektorowymi na ℝ^{m} takimi że ich iterowane komutatory rozpinają przestrzeń styczną.

Twierdzenie 3.1 Dla dowolnych otwartych U ⊂ V takich ze domknięcie U jest podzbiorem zwartym V i l > 0, s ∈ ℝ istnieją C i k takie że dla dowolnej dystrybucji f mamy

∥f∥_{H(s+l,U)} ≤ C(∥L^{k}f∥_{H(s,V)} + ∥f∥_{H(s,V)})

przy tym lewa strona jest skończona o ile prawa strona jest skończona.

P. Zauważmy że wystarczy pokazać że dla ϕ, ψ ∈ C_{c}^{∞} takich że ψ = 1 w otoczeniu nośnika ϕ zachodzi

∥ϕf∥_{H(s+ϵ)} ≤ C(∥ψLf∥_{H(s)} + ∥ψf∥_{H(s)})

W dowodzie możemy zakładać że pola X_{i} są antysymetryczne, w razie potrzeby zastępując je operatorami rzędu 1 postaci (X_{i} + X_{i}^{∗})/2 i dodając człony rzędu 1, tzn.

L = ∑_{i=1}^{n}(−X_{i}^{2} + A_{i}X_{i}) + X_{0} + A_{0}

gdzie A_{i} są odpowiednimi funkcjami (dla nas jest ważne że są to operatory pseudoróżniczkowe rzędu 0).

Niech P = E_{s}ψ^{4}LE_{−s} i Q_{i} = ψX_{i}ψ. Pokażemy że P ma postać jak L wyżej, tyle że X_{i} są zastąpione przez Q_{i} i oczywiści A_{i} są inne. Mianowicie, mamy

ψ^{4}X_{i}^{2} = ψ^{3}X_{i}ψX_{i} + ψ^{3}[ψ, X_{i}]X_{i}
= ψ^{3}X_{i}ψX_{i} + ψ^{2}[ψ, X_{i}]ψX_{i} + ψ^{2}[ψ, [ψ, X_{i}]]X_{i}
= ψ^{3}X_{i}ψX_{i} + ψ[ψ, X_{i}]ψ^{2}X_{i} + A

gdzie A = ψ[ψ, [ψ, X_{i}]]ψX_{i} + ψ^{2}[ψ, [ψ, X_{i}]]X_{i} jest rzędu 0. Następnie

ψ[ψ, X_{i}]ψ^{2}X_{i} = ψ[ψ, X_{i}]ψX_{i}ψ + ψ[ψ, X_{i}]ψ[ψ, X_{i}] = BQ_{i} + A′

z A′ i B rzędu 0. Podobnie

ψ^{3}X_{i}ψX_{i} = ψ^{2}X_{i}ψ^{2}X_{i} + ψ^{2}[X_{i}, ψ]ψX_{i}
= ψ^{2}X_{i}ψ^{2}X_{i} + ψ[ψ, X_{i}]ψ^{2}X_{i} + ψ[ψ, [ψ, X_{i}]]X_{i}
= ψ^{2}X_{i}ψ^{2}X_{i} + ψ[ψ, X_{i}]ψX_{i}ψ + ψ[ψ, X_{i}]ψ[ψ, X_{i}] + A′′
= ψ^{2}X_{i}ψ^{2}X_{i} + B′Q_{i} + A′′′

gdzie B′ i A′′′ są rzędu 0. Kontynuując to postępowanie dostaniemy

ψ^{4}X_{i}^{2} = Q_{i}^{2} + B_{i}Q_{i} + B′_{i}

gdzie B_{i} i B′_{i} są rzędu 0. Następnie

E_{s}ψ^{4}X_{i}^{2}E_{−s} = E_{s}Q_{i}^{2}E_{−s} + E_{s}B_{i}Q_{i}E_{−s} + E_{s}B′_{i}E_{−s}

i

E_{s}Q_{i}^{2}E_{−s} = Q_{i}E_{s}Q_{i}E_{−s} + [E_{s}, Q_{i}]Q_{i}E_{−s}
= Q_{i}^{2} + Q_{i}E_{s}[Q_{i}, E_{−s}] + [E_{s}, Q_{i}]E_{−s}Q_{i} + [E_{s}, Q_{i}][Q_{i}, E_{−s}]
Q_{i}^{2} + (E_{s}[Q_{i}, E_{−s}] + [E_{s}, Q_{i}])Q_{i} + [Q_{i}, E_{s}[Q_{i}, E_{−s}]] + [E_{s}, Q_{i}][Q_{i}, E_{−s}]

Teraz

E_{s}ψ^{4}X_{i}^{2}E_{−s} = Q_{i}^{2} + A_{i}Q_{i} + A′_{i}

gdzie

A_{i} = E_{s}[Q_{i}, E_{−s}] + [E_{s}, Q_{i}] + E_{s}B_{i}E_{−s},
A′_{i} = E_{s}B_{i}[Q_{i}, E_{−s}] + [Q_{i}, E_{s}[Q_{i}, E_{−s}]] + [E_{s}, Q_{i}][Q_{i}, E_{−s}]

przy tym A_{i} i A′_{i} są rzędu 0. Łącznie

P = ∑_{i=1}^{n}(−Q_{i}^{2} + A_{i}Q_{i}) + A_{0}

a więc na mocy 2.1

∥Q_{i}f∥_{L^{2}} ≤ C(∥P f∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})

dla f ∈ C_{c}^{∞}. Ponieważ komutatory X_{i} generują przestrzeń styczną, na mocy lematu Kohna 2.2 otrzymujemy

∥ϕf∥_{H(ϵ)} ≤ C(∥P f∥_{L^{2}} + ∥f∥_{L^{2}})

dla f ∈ C_{c}^{∞}. To prawie koniec, ale my potrzebujemy to dla f ∈ L^{2}. Aby to otrzymać zauważmy że w rozumowaniu wyżej zamiast funkcji jako ψ możemy brać operatory postaci ηK_{t}η gdzie K_{t} jest operatorem pseudoróżniczkowym z symbolem zależym tylko od ω,

K_{t} = a_{t}(x, D)

gdzie a_{t}(x, ω) = h(tω) zaś h jest funcją gładką o nośniku zwartym równą 1 w pewnym otoczeniu 0. Łatwo sprawdzić że K_{t} jest operatorem rzędu −1 (a także dowolengo innego rzędu ujemnego bo odwzorowuje dowolną przestrzeń H(s) w funkcje gładkie), przy tym lim K_{t}f = f w H(s) dla t dążącego do 0. Tak zregularyzowany P jest operatorem ograniczonym na L^{2}, więc przez gęstość nierówności możemy rozszerzyc z funkcji gładkich na całe L^{2}. Podobnie w lemacie Kohna. Ponieważ stałe w oszacowanich nie zależą od t to przechodząc z t do zera otrzymamy oszacowanie dla f ∈ L^{2}. Teraz piszemy

∥ϕf∥_{H(s+ϵ)} = ∥E_{s}ϕf∥_{H(ϵ)} ≤ ∥ϕE_{s}f∥_{H(ϵ)} + ∥[E_{s}, ϕ]f∥_{H(ϵ)}
≤ C(∥P E_{s}f∥_{L^{2}} + ∥E_{s}f∥_{L^{2}}) + C_{1}∥f∥_{H(s)}
= C∥E_{s}ψ^{4}Lf∥_{L^{2}} + (C + C_{1})∥f∥_{H(s)}
= C∥ψ^{4}Lf∥_{H(s)} + (C + C_{1})∥f∥_{H(s)}.

Biorąc zamiast f dystrubucję uf gdzie u jest gładkie takie że u = 1 na nośniku ψ otrzymamy

∥ϕf∥_{H(s+ϵ)} ≤ C∥ψ^{4}Lf∥_{H(s)} + (C + C_{1})∥uf∥_{H(s)}
≤ C_{2}(∥uLf∥_{H(s)} + ∥uf∥_{H(s)})
□

Komentarz bibliograficzny: dowód twierdzenia Hörmandera jest dostępny w książkach poświęconych operatorom pseudoróżniczkowym, np. w [2] jest w rozdziale 22.2, zaś w [3] w rozdziale 15.1. Dowód wariantu twierdzenia Hörmandera dla operatorów wyższego rzędu jest w rozdziale drugim mojej pracy [1].

Literatura

[1] W. Hebisch, Estimates on the semigroups generated by left invariant operators on Lie groups, J. Reine Angew. Math. 423 (1992), 1-45.

[2] L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators III, Springer 1985.

[3] M. Taylor, Pseudodifferential operators, Princeton University Press, 1981.