1. Sprawdzić że podane na wykładzie realizacje grupy Heisenberga są izomorficzne. Przypominam że pierwsza realizacja to ℝ^{3} z mnożeniem zadanym wzorem (x_{1}, y_{1}, z_{1})(x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2} + \frac{1}{2}(x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})) zaś druga to macierze postaci:

( \begin{matrix}1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

2. Sprawdzić że wzór (x_{1}, y_{1})(x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, exp(x_{2})y_{1} + y_{2}) zadaje na ℝ^{2} strukturę grupy Liego. Pokazać że grupa ta jest izomorficzna z grupą przekształceń afinicznych prostej zachowujących orientację.

3. Niech Aut(H) oznacza grupę automorfizmów grupy H, zaś A jest homomorfizmem z G w Aut(H). Na produkcie grup G i H wprowadzamy mnożenie wzorem:

(g_{1}, h_{1})(g_{2}, h_{2}) = (g_{1}g_{2}, (A(g_{2}^{−1})h_{1})h_{2})

Otrzymujemy w ten sposób grupę nazywaną produktem półprostym G i H (sprawdzić). Pokazać że jeśli G i H są grupami Liego i A jest odwzorowaniem gładkim (jako odwzorowanie z G × H w H) to produkt półprosty G i H jest grupą Liego.

4. Przestawić jako produkt półprosty następujące grupy: grupę przekształceń afinicznych na przestrzni euklidesowej, grupę isometrii przestrzni euklidesowej, grupę Heisenberga, grupę macierzy górno-trójkątnych (tzn. takich że wszyskie elementy poniżej diagonali są zerami).

5. Przestrzeń k-dżetów odwzorowań ℝ^{m} w ℝ^{n} w punkcie 0 to przestrzeń ilorazowa przestrzeni wszystkich funkcji gładkich z ℝ^{m} w ℝ^{n} przez podprzestrzeń funkcji których k + 1 pochodnych w 0 znika. Z definicji wynika że pochodne do rzędu k w 0 są dobrze zdefiniowane dla k-dżetów (nie zależą od wyboru reprezentantów). Pokazać że przestrzeń k-dżetów odwzorowań ℝ^{n} w ℝ^{n} w punkcie 0 takich że wartość w 0 to 0 i pierwsza pochodna jest odwracalna ma naturalną strukturę grupy Liego (działaniem jest składanie (dżetów) odwzorowań).

6. Na ℝ^{n} wprowadzamy topologie Zariskiego przyjmując że zbiory domkniete do dokładnie te zbiory które są zbiorami wspólnych zer układu wielomianów. Na podzborach ℝ^{n} topologię Zariskiego wprowadzamy jako topologię podprzestrzeni. Pokazać że jeśli U jest zbiorem otwartym w topologii Zariskiego, f jest funkcją wymierną, taką że mianownik f jest różny od 0 na U to f jest ciągła w topologi Zariskiego (tzn. przeciwobrazy zbiorów domkniętch w topologi Zariskiego przez f są domknięte w topologi Zariskiego). Pokazać że jeśli na ℝ × ℝ wprowadzimy produkt toplogii Zariskiego to dodawanie będzie nieciągłe. Pokazać że jeśli grupa G jest podzbiorem domkniętym ℝ^{n} w topologi Zariskiego zaś działania grupowe na G są zadane przez funkcje wymierne których mianowniki są różne od zera na G to mnożenie jest ciągłe z G × G z topologią Zariskiego odziedziczoną z ℝ^{2n} w G (z topologią Zariskiego).