1. Niech G będzie zwartą grupą Liego zaś A algebrą Liego G. Pokazać że

• A jest sumą prostą swoich ideałów

• A jest sumą prostą algebry półprostej i abelowej

• A jeśli A jest półprosta to forma Killinga A jest ujemnie określona

• każdy skończenie wymiarowy A-moduł Liego jest sumą prostą modułów prostych

2. Niech A będzie algebra Liego zwartej grupy Liego G i niech T będzie maksymalną spójną abelową podgrupą G. Pokazać że algebra Liego T jest podalgebrą Cartana w A.

3. W grupie G = SU(n) znaleźć maksymalą spójną podgrupę przemienną T i jej algebrę Liego. Wyznaczyć W̃ = {g ∈ G : gT g^{−1} = T }. Jak W̃ działa na algebrze Liego T?

4. Niech A będzie półprostą algebrą Liego nad ciałem liczb zespolonych, niech G będzie (zespoloną) spójną grupą Liego z algebrą Liego A. Oznaczmy przez Int(A) podgrupę grupy automorfizmów A odpowiadajacych automorfizmom wewnętrznym G (tzn. i_{g}(x) = gxg^{−1}, ϕ(g) = Di_{g}|_{x=e}, Int(A) = ϕ(G)). Pokazać że Int(A) jest generowana przez elementy postaci exp(ad_{x}) dla x ∈ A takich że ad_{x} jest nilpotentny.