1. Niech Λ będzie układem pierwiastków zaś Δ ⊂ Λ_{+} bazą (układem pierwiastków prostych). Pokazać że jeśli dla α, β ∈ Δ mamy (α, β) ≠ 0 to (e_{α}, e_{β}) ≤ −1/2.

2. Pokazać że diagram Coxetera (czy Dynkina) układu pierwiastków nie zawiera cykli (pokazać że prowadziłoby to do sprzeczności z dodatnią określonością formy).

3. Sprawdzić że algebra Liego grupy SU(n) ma układ pierwiastków A_{n−1}. Uwaga: Algebra Liego grupy SO(2n + 1) dla n ≥ 2 ma układ pierwiastków

B_{n}, SO(2n) dla n ≥ 3 ma układ pierwiastków D_{n}. Grupę Sp(n) definiujemy jako podgrupę SU(2n) składającą się z elementów komutujących z operatorem J zadanym wzorem J(x, y) = (−y, x) dla x, y ∈ ℂ^{n}. Sp(n) ma układ pierwiastków C_{n} dla n ≥ 2.

Przypominam że klasą Schwartza S nazywamy zbiór funkcji na ℝ^{n} taich że dla dowolnego multiindeksu α zarówno x^{α}f jak i ∂^{α}f jest ograniczone (te wielkości dają rodzinę półnorm zadających topologię (metrykę) na klasie Schwartza).

4. Niech H_{n} będzie algebrą Heisenberga, tzn. bazą H_{n} są elementy X_{k}, Y_{k}, k = 1, …, n i Z zaś [X_{k}, Y_{k}] = Z. Niech 0 ≠ α ∈ ℝ. Definiujemy działanie H_{n} na klasie Schwartza wzorami: X_{k}f = ∂_{k}f, Y_{k} = iαx_{k}f, Zf = iαf. Sprawdzić że jest to dobrze zdefiniowane działanie. Pokazać że przy tym działaniu nie ma nietrywialnych domkniętych podprzestrzeni niezmienniczych, tzn. S z tym działaniem jest toplogicznie proste. Ponadto, dla różnych α te działania nie są równoważne.

Komentarz: Wiemy że skończenie wymiarowe moduły proste nad algebrą nilpotentną są jednowymiarowe. To zadanie ilustruje że dostaniemy nietrywialne nieskończenie wymiarowe moduły proste. Aby dostać moduł który jest algebraicznie prosty trzeba by wziąść podmoduł np. podmoduł cykliczy generowany przez funkcję Gaussa exp(−|x|^{2}), ale klasa Schwartza ma tą zaletę że w tym samym module mamy też działanie grupy.