Przypominam definicję algebry Liego: algebra Liego nad pierscieniem R to moduł nad R z operacją [x, y] (nawiasem Liego) spełniającym:

[c_{1}x_{1} + c_{2}x_{2}, y] = c_{1}[x_{1}, y] + c_{2}[x_{2}, y]
[x, c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2}] = c_{1}[x, y_{1}] + c_{2}[x, y_{2}]
[x, y] = −[y, x]
[x, [y, z]] = [[x, y], z] + [x, [y, z]]

Pierwsze dwa warunki to dwuliniowość, trzeci to antysymetria (w charakterystyce 2 należełoby pisać [x, x] = 0), zaś czwarty nosi nazwę tożsamości Jacobiego.

Przypominam że D jest różniczkowaniem algebry Liego A jeśli D jest Rliniowe i spełnia wzór Leibnitza: D[x, y] = [Dx, y] + [x, Dy].

1. Sprawdzić że jeśli A jest (raczej nieprzeminną) algebrą łączną nad R to A z nawiasem Liego wprowadzonym wzorem [X, Y] = XY − Y X jest algebrą Liego. (W szczególności algebra Liego grupy Liego tak jak definiowaliśmy ją na wykładzie jest algebrą Liego).

2. Sprawdzić że suma prosta algebr Liego A_{1} i A_{2} zdefinowana jako ich suma prosta jako modułów z nawiasem Liego po składowych [(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})] = ([x_{1}, y_{1}], [x_{2}, y_{2}]) jest algebrą Liego. Sprawdzić że jeśli B jest R-liniowym odwzorowaniem z A_{1} w różniczkowania A_{2} spełniającym B([x, y]) = B(x)B(y) − B(y)B(x) (tzn. B jest homomorfizmem algebr Liego) to wzór

[(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})] = ([x_{1}, y_{1}], −(B(y_{1}))x_{2} + (B(x_{1}))y_{2} + [y_{1}, y_{2}])

zadaje nawias Liego na sumie prostej A_{1} i A_{2} jako modułów. Sumę prostą A_{1} i A_{2} jako modułów z takim nawiasem Liego nazywamy produktem półprostym algebr Liego. Oczywiście produktem półprosty zależy od wyboru odwzorowania B.

3. Pokazać że algebra Liego A jest produktem półprostym wtedy i tylko wtedy gdy A zawiera dwa podmoduły A_{1} i A_{2} takie że A = A_{1} ⊕ A_{2} jako moduł, A_{1} jest podalgebrą (tzn. dla x, y ∈ A_{1} również [x, y] ∈ A_{1}) i dla x ∈ A, y ∈ A_{2} mamy [x, y] ∈ A_{2}.

4. Wyznaczyć prawostronnie niezminnicze pola wektorowe na grupie macierzy ortogonalych 3 × 3. Dla tej grupy i grup z zadania 3 listy 2 wyznaczyć nawias Liego.

5. Pokazać że dla grup macierzowych nawias Liego jest zadany wzorem [X, Y] = XY − Y X gdzie XY i Y X są iloczynami macierzy.

Wskazówka: Użyć wzór Xf(x) = ∂_{t}f(x exp(tX))|_{t=0} i najpierw pokazać że [X, Y] = ∂_{t}∂_{s}(exp(tX) exp(sY) − exp(tY) exp(tX))|_{s,t=0}

6 Niech A będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią wektorową z bazą X, Y_{1}, …, Y_{n}, . . .. Na A zadajemy nawias Liego wzorem [X, Y_{i}] = −[Y_{i}, X] = Y_{i+1} zaś [Y_{i}, Y_{j}] = 0. Sprawdzić że to nam zadaje algebrę Liego i że A jest generowana przez X i Y_{1} (tzn. najmniejsza podalgebra Liego A zawierająca X i Y_{1} jest równa A).

Definicja: Algebra Liego g jest prosta jeśli jedyne podprzestrzenie g niezmiennicze na działanie wszystkich operatorów ad_{x}, x ∈ g to g i {0}.

7. Pokazać że następujące algebry Liego są proste: algebra Liego rzeczywistych (lub zespolonych) macierzy 2×2 o śladzie 0, algebra zespolonych macierzy antyhermitowskich 2 × 2 o śladzie 0, algebra rzeczywistych macierzy antysymetrycznych 3 × 3 o śladzie 0.

8. Niech Df = ∂_{x}^{2}f, Mf(x) = x^{2}f(x), Jf(x) = 2x(∂_{x}f)(x) + f(x). Pokazać że operatory D, M, J rozpinają rzeczywistą algebrę Liego (z komutatorem jako nawiasem Liego). Podobnie iD, iM, J rozpinają rzeczywistą algebrę Liego. Sprawdzić że te dwie algebry są izomorficzne z algebrą macierzy 2 × 2 o śladzie 0.

Uwaga: −M można traktować jako wektor styczny do półgrupy operatorów T (t)f(x) = exp(−tx^{2})f(x) dla t ≥ 0. Jednakże T (t) jako operator na C^{∞} jest odwracalne, ale nie jest operatorem odwracalnym na klasie Schwartza, więc M nie wyznacza podgrupy jednoparametrowej w grupie operatorów liniowych ciągłych na klasie Schwartza. Również D nie wyznacza podgrupy jednoparametrowej na klasie Schwartza (trudniejsze). iD, iM, J generują podgrupę trójwymiarową grupy operatorów liniowych ciągłych na klasie Schwartza, ale to wymaga dodatkowych wiadomości (transformacja Fouriera lub analiza funkcjonalna)

Klasą Schwartza nazywamy podprzestrzeń C^{∞} taką że wszystkie półnormy ϕ_{n,k}(f) = sup_{x} |x^{n}∂_{x}^{k}f| dla naturalnych n i k są skończone.