1. Pokazać że jeśli rzeczywista algebra Liego A zawiera element x taki że ad_{x} ma niezerową rzeczywistą wartość własną, to zawiera też podalgebrę Liego izomorficzną z algebrą Liego grupy przekształceń afinicznych prostej (grupy ’ax + b’).

2. Opisać (sklasyfikować) wszystkie rozwiązalne algebry Liego nad ciałami liczb rzeczywistych i zespolonych o wymiarze nie przekraczającym 3.

3. Pokazać że nieprzemienna rozwiązalna algebra Liego nad ciałem liczb rzeczywistych zawiera nieprzemienną podalgebrę wymiaru 2 lub 3.

Uwaga: Z twierdzeń o strukturze algebr wynika że teza zadania pozostaje prawdziwa jeśli się usunie założenie o rozwiązalności (ale nie znam prostego dowodu).

4. Pokazać że nieprzemienna algebra rozwiązalna nad ciałem liczb rzeczywistych która nie jest nilpotentna zawiera ideał taki że iloraz jest nieprzemienną algebrą wymiaru 2 lub 3.

5. Pokazać że algebra su(2) (algebra macierzy antyhermitowskich 2 × 2 o śladzie 0) nie zawiera rozwiązalnej podalgebry wymiaru większego niż 1. Wskazówka: Spójna rozwiązalna podgrupa zwartej grupy Liego jest przemienna.

6. Pokazać że jeśli algebra Liego G jest nilpotentna i G/[G, G] jest generowane przez x_{1}, …, x_{n} to x_{1}, …, x_{n} także generują G.

7. Pokazać że nilpotentna algebra Liego ze skończonym zbiorem generatorów jest skończenie wymiarowa.

8. Opisać przemienne grupy Liego.

Przypominam definicję z poprzedniej listy.

Definicja: Algebra Liego g jest prosta jeśli jedyne podprzestrzenie g niezmiennicze na działanie wszystkich operatorów ad_{x}, x ∈ g to g i {0}.

9. Pokazać że jeśli G jest grupą Liego z prostą algebrą Liego, to istnieje k takie że dla każdego x ∈ G który nie należy do centrum G dla F zadanego równością F = A_{G}x = {gxg^{−1} : g ∈ G} zbiór (F F^{−1})^{k} zawiera otoczenie e w G.

Wskazówka: F zawiera krzywą gładką.

10. Pokazać że jeśli G jest grupą Liego z prostą algebrą Liego, to każdy właściwy dzielnik normalny G jest zawarty w centrum G.

11. Pokazać że jeśli G jest grupą zwartą, U jest otoczeniem e w G, k jest liczbą naturalną, to istnieje otoczenie e V takie że ((A_{G}V)(A_{G}V)^{−1})^{k} ⊂ U.

12. Pokazać że jeśli G_{1} jest grupą Liego z prostą algebrą Liego zaś G_{2} jest jest grupą zwartą to każdy (algebraiczny) homomorfizm z G_{1} do G_{2} jest ciągły.