1. Niech I będzie ideałem algebry Liego A nad ciałem K, zaś x ∈ A elementem takim że A rozkłada się na sumę podprzestreni własnych ad_{x}. Dokładniej, definujemy A_{λ} = {v ∈ A : ad_{x}(v) = λv} i zakładamy że A = ⊕_{λ}A_{λ}. Pokazać że I = ⊕_{λ}(I ∩ A_{λ}). Podobnie, jeśli mamy zbiór S operatorów, λ są funkcjami z S w K, A_{λ} = {v ∈ A : ∀_{x∈S}ad_{x}(v) = λ(x)v}.

2. Dla algebry macierzy n na n opisać opisać wspólne podprzestrzenie własne (jak w drugiej części zadania 1) dla S będącego zbiorem macierzy diagonalnych. Podobnie, dla algebry macierzy antysymerycznych na ciałem liczb zespolonych i S będącego zbiorem macierzy z blokami postaci:

( \begin{matrix}0 & λ \\ −λ & 0 \end{matrix} )

na diagonali. λ jest tu dowolną liczbą rzeczywistą. Pozadiagonalne bloki są zerami.

3. Bazując na wyniku zadania 2 pokazać że algebra macierzy n na n o śladzie 0 jest prosta. Podobnie, algebra macierzy antysymetrycznych o śladzie 0 jest prosta.

4. Niech V będzie skończenie wymiarową podprzestrznią przestrzeni wielomianów na ℝ^{n}. Zakładamy że V jest zamknięta na przesunięcia. Pokazać że ℝ^{n} ⊕ V z komutatorem zadanym przez równości [(v_{1}, 0), (v_{2}, 0)] = 0, (0, p_{1}), (0, p_{2})] = 0, [(v, 0), (0, p)] = ∂_{v}p gdzie ∂_{v} jest pochodną kierunkową w kierunku v jest nilpotentną algebrą Liego. Wyznaczyć odpowiadającą jej grupę Liego.

Wskazówka: Ta algebra jest produktem półprostym.

5. Na przestrzeni V macierzy anyhermitowskich (tzn. takich że A^{∗} = −A) 2 na 2 o śladzie 0 zadajemy iloczyn skalarny wzorem (A, B) = T r(AB^{∗}) Sprawdzić że jeśli dla g ∈ SU(2) zadamy działanie na V wzorem: A ↦ gAg^{1−} to to działanie daje homomorfizm z SU(2) na spójną składową jedynki w grupie ortogonalnej przestrzeni V. To odwzorowanie ma jądro I, −I (czyli jest dwukrotnym nakryciem).

6. Przestrzeń rzutowa P (K, n) nad ciałem K to iloraz K^{n+1} − 0 w którym utożsamiamy x z λx dla dowolnego λ ≠ 0. Macierze n + 1 na n + 1 nad K w naturalny sposób działają na P (K, n). Wyznaczyć orbity działania SL(2, ℝ) i macierzy górnotrójkątnych na P (ℂ, 1). Pokazać że macierze górnotrójkątne działają tranzytywnie na orbitach SL(2, ℝ) maksymalnego wymiaru.