1. Pokazać że algebra Liego A skończonej długości zawiera maksymalny ideał nilpotentny, tzn. taki ideał nilpotentny N że dowoly ideał nilpotentny A jest zawarty w N.

2. Pokazać że skończenie wymiarowy moduł prosty nad przemienną algebrą Liego nad ciałem algebraicznie domkniętym K jest jednowymiarowy jako przestrzeń wektorowa nad K. Podać przykład modułu prostego wymiaru 2 nad jednowymiarową algebrą algebrą Liego nad ℝ.

3. Algebra Liego sl(2, ℝ) jest generowana przez elementy H, X, Y takie że H = [X, Y], [H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y. Niech v_{k}, k = 0, …, m będzie bazą przestrzeni m + 1 wymiarowej przestrzeni V_{m} (m ≥ 1). Sprawdzić że wzory Hv_{k} = (2k − m)v_{k}, Xv_{k} = (m − k)v_{k+1}, Y v_{k} = kv_{k−1} zadają na V_{m} strukturę modułu Liego nad sl(2, ℝ). Moduł ten jest izomorficzny z naturalnym działaniem sl(2, ℝ) na wielomianach jednorodnych stopnia m. Ponadto moduł ten jest prosty.

4. Pokazać że dla danego n i k istnieje wolna algebra nilpotentna N_{n,k} długości co najwyżej k generowana przez n elementów. Dokładniej, N_{n,k} jest taką algebrą Liego że dla dowolnej nilpotentnej algebry Liego B długości co najwyżej k i odwzorowania h ze zbioru generatorów {x_{1}, …, x_{n}} w B istnieje dokładnie jedno odwzorowanie h̃ : N_{n,k} ↦ B takie że h(x_{i}) = h̃(x_{i}). Dla skończonego n algebra N_{n,k} jest skończenie wymiarowa.

Uwaga: Nilpotentność jest kluczowa żeby dostać skończony wymiar. Mianowicie, algebra A z zadania 6 z listy 3 jest nieskończnie wymiarową rozwiązalną algebra Liego o dwu generatorach. Przy tyme [A, A] jest algebrą przemienną (takie algebry nazywamy metaabelowymi).