1. Niech A = ℝ^{n} ⊕ Λ_{2}(ℝ^{n}) gdzie Λ_{2} jest drugą potęgą zewnętrzną. Na A definiujemy nawias Liego wzorem [(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})] = (0, x_{1} ∧x_{2}). Pokazać że A jest izomorficzna z wolną nilpotentną algebrą Liego długości 2 o n generatorach.

2. Produkt wolny R-algebr Liego A_{1} i A_{2} definujemy jako taką R-algebrę Liego B z włożeniami ι_{i} : A_{i} ↦ B, i = 1, 2 że dla dowolnej R-algebry Liego C i dowolnych homomorfizmów R-algebr Liego h_{i} : A_{i} ↦ C, i = 1, 2 istnieje dokładnie jeden homomorfizm R-algebr Liego h : B ↦ C, taki że h_{i} = h ∘ ι_{i}. Uogólnić defincję na dowolną, niekoniecznie skończoną rodzinę algebr. Pokazać że produkt wolny istnieje. Ponadto pokazać że produkt wolny odpowiedniej liczby kopii pierścienia R traktowanego jako R-algebra Liego z zerowym komutatorem spełnia naturalną definicję wolnej algebry Liego (sformułować tą definicję).

Porzypominam że jeśli pierścień przemienny z jedynką S jest algebrą nad R, zaś G jest R-algebrą Liego to S ⊗_{R} G posiada naturalną strukturę S-algebry Liego (mówimy że S ⊗_{R} G jest otrzymane z G przez rozszerzenie skalarów). Jeśli S jest modułem wolnym nad R to G można naturalnie utożsamić z podzbiorem S ⊗_{R} G (w ogólym przypadku dostaniemy naturalne ”włożenie” które nie musi być różnowartościowe).

3. Opisać strukturę S ⊗_{R} G jeśli R to liczby rzeczywiste zaś S to liczby zespolone. W szczególności, co wyjdzie jeśli G to:

• algebra rzeczywistych macierzy 2 × 2 o śladzie 0

• algebra zespolonych macierzy 2 × 2 o śladzie 0

• algebra zespolonych macierzy antyhermitowskich 2 × 2 o śladzie 0

4. Niech p bedzie wielomianem nierozkładalnym nad ℚ stopnia n z najwyższym wyrazem 1. Macierz M_{p} wygląda następująco:

( \begin{matrix}0 & 0 & … & −p_{0} \\ 1 & 0 & … & −p_{1} \\ 0 & 1 & 0 & … \\ … \\ 0 & … & 1 & −p_{n−1} \end{matrix} ) .

Pokazać że w ℚ[x]/pℚ[x] istnieje baza taka że M_{p} odpowiada mnożeniu przez x, i że ℚ^{n} jest modułem prostym dla ℚ-algebry łącznej A generowanej przez M_{p} zaś p jest wielomianem minimalnym dla M_{p} (tzn. p(M_{p}) = 0 i p jest wielomianem minimalnego stopnia o tej własności). Ponadto A jest ciałem.

Przypominam że dla R-algebry Liego L odwzorowanie D : L ↦ L które jest homomorfizmen R-modułów nazywamy różniczkowaniem jeśli dla dowolnych x, y ∈ L zachodzi D[x, y] = [Dx, y] + [x, Dy].

5. Pokazać że ad odwzorowuje L na ideał w algebrze Liego różniczkowań.

6. Pokazać że jeśli D jest różniczkowaniem skończenie wymiarowej rozwiązalnej algebry Liego L nad ciałem charakterystyki 0 to dla dowolnego x ∈ L operator ad_{Dx} jest nilpotentny.

Wskazówka: Algebra różniczkowań generowana przez D i L jest rozwiązalna. Przypominam że algebrę Liego nazywamy półprostą jeśli nie zawiera nietry-

wialnych ideałów rozwiązalnych.

7. Pokazać że skończenie wymiarowa algebra półprosta nad ciałem charakterystyko 0 jest sumą prostą algebr prostych.

8. Niech V będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad ciałem K algebraicznie domkniętym charakterystyki 0, L algebrą Liego endomorfizmów V. Zakładamy że V jest modułem prostym dla L i L nie zawiera operatora identycznościowego. Wtedy L jest półprosta.

Wskazówka: Powtórzyć fragment dowodu twierdzenia Liego.

9. Jeśli D jest różniczkowaniem skończenie wymiarowej algebry półprostej L nad ciałem charakterystyki 0, to istnieje x ∈ L taki że D = ad_{x}.

Wskazówka: Dla algebr prostych nad ciałem algebraicznie domkniętym wynika to z poprzedniego zadania.

10. Niech R̃ = R[X]/(X^{2}) (tzn. R̃ jest rozszerzeniem R o elemet x taki że x^{2} = 0), L jest R-algebrą Liego i niech L̃ = R̃ ⊗_{R} L. Pokazać że jeśli D jest różniczkowaniem L, to wzór A(s + xt) = s + x(t + D(s)) gdzie s, t ∈ L (zaś L utożsamiamy z podzbiorem L̃), zadaje automorfizm L̃. Ponadto, każdy automorfizm L̃ który jest tożsamością na L̃/xL jest takiej postaci.