1. Pokazać że jeśli N ⊂ A ⊂ L, N jest podalgebrą Cartana w L, A jest podalgebrą L, to N jest podalgebrą Cartana w A.

2. Algebra Liego L (nad ciałem liczb rzeczywistych) ma bazę X, Y, Z, T, S z relacjami [X, Y] = Z, [X, T] = T, [Y, S] = S (pozostałe komutatory elementów bazy to 0). Pokazać jeśli a, b są dowolnymi ustalonymi liczbami to podalgebra generowana przez elementy postaci X + aT, Y + bS, Z jest podalgebrą Cartana w L. Ponadto każda podalgebra Cartana L jest takiej postaci.

3. Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad ciałem nieskończonym i C będzie algebrą Cartana w L. Pokazać że L = C + [L, L].

4. Niech L będzie rozwiązalną algebrą Liego nad ciałem algebraicznie domkniętym charakterystyki 0 i niech N będzie podalgebrą Cartana w L. Wiemy że

L = N ⊕ ⨁_{f} L_{f} = N ⊕ W

gdzie f są funkcjonałami pierwiastkowymi zaś L_{f} odpowiednimi podprzestrzeniami pierwiastkowymi. Każde f rozszerzamy z N na L kładąc f(x) = 0 dla x ∈ W. Pokazać że tak rozszerzone f nie zależą od wyboru N.

5. Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad ciałem nieskończonym i C będzie algebrą Cartana w L. Pokazać że istnieje x ∈ C taki że C = {v ∈ L : ad_{x}^{dim(L)}v = 0}.

Nilradykałem s algebry Liego L nazywamy podzbiór L taki że każdy element s ∈ s działa jak zero w każdym L-module prostym tzn.

s = {s ∈ L : ∀_{V} ∀_{v∈V} V jest prosty ⟹ sv = 0}

6. Dla skończenie wymiarowej algebry L pokazać że:

• jeśli algebra L jest półprosta to s = {0}

• s jest ideałem rozwiązalnym

• jeśli algebra L jest abelowa to s = {0}

• s ⊂ [L, L]

• jeśli L jest rozwiązalan nad ciałem charakterystyki 0 to s = [L, L]