Zadania 1 do 9 dają dowód ważnego wzoru Bakera-Campbella-Hausdorffa. Część materiału pojawała się już na wykładzie i na ćwiczeniach, powtarzam to dla kompletności. Zadanie 2 to twierdzenie Poincarego-Birkhoffa-Wita.

1. Niech A będzie algebrą Liego która jest modułem wolnym z bazą {e_{i}}_{i∈I} nad pierścieniem podstawowym R. Zakładamy że na I zadany jest porządek liniowy. Niech J będzie zbiorem niemalejących ciągów skończonych z I, tzn, elementów α postaci (i_{1}, i_{2}, …, i_{n}) gdzie i_{1} ≤ i_{2} ≤ ⋯ ≤ i_{n}. Z definicji ciąg pusty jest elementem J. Niech M będzie modułem wolnym nad R generowanym przez J. Na M chcemy zdefiniować działanie A. Wystarczy to zrobić na bazach A i M. Działanie na bazie M określamy indukcyjnie względem długości elementu α bazy M. Jeśli α jest ciągiem pustym to e_{i}α = (i). Zakładając że zdefiniowaliśmy działanie na ciągach długości n−1 na ciągach długości n definujemy działanie następująco: jeśli α = (i_{1}, i_{2}, …, i_{n}) i i ≤ i_{1} to e_{i}α = (i, i_{1}, i_{2}, …, i_{n}), jeśli i > i_{i} to piszemy [e_{i}, e_{i_{1}}] = ∑_{k} c_{k}e_{k} i e_{i}α = e_{i_{1}}e_{i}(i_{2}, …, i_{n}) + ∑_{k} c_{k}e_{k}(i_{2}, …, i_{n}). Sprawdzić że:

• e_{i}α jest dobrze zdefiniowaną operacją

• powyższa definicja faktycznie zadaje działanie

• M z tym działaniem jest wolnym modułem Liego generowanym przez pojedyńczy element (ciąg pusty).

Przypominam że uniwersalna algebra obwiednia algebry Liego A jest zdefiniowana jako taka algebra łączna E(A) z odwzorowaniem ι : A ↦ E(A) które jest homomorfizmen z A w E(A) traktowane jako algebra Liego (z komutatorem jako nawiasem Liego), że każdy homomorfizm h z A w algebrę łączną B traktowaną jako algebrę Liego jest postaci h = g ∘ι gdzie g jest homomorfizmem E(A) w B (homomorfizm algber łacznych).

2. Pokazać że jeśli A jest jak w zadaniu wyżej to elementy postaci

ι(e_{i_{1}})ι(e_{i_{2}}) … ι(e_{i_{n}})

gdzie i_{1} ≤ i_{2} ≤ ⋯ ≤ i_{n} stanowią bazę E(A) (ciąg pusty daje jedynkę). W szczególności ι jest różnowartościowe.

Wskazówka: E(A) odwzorowuje się w łączną algebrę endomorfizmów M traktowanego jako R moduł.

3. Niech G będzie grupą Liego z algebrą Liego L, i niech D będzie algebrą operatorów różniczkowych na G niezmienniczych na przesunięcia z prawej strony (mnożenie to składanie operatorów). Pokazać że algebra obwiednia E(L) jest izomorficzna z D.

Wskazówka: Rozpatrzyć działanie elementów D na jednomiach w układzie wpółrzędnych.

4. Pokazać że jeśli L_{1} i L_{2} są algebrami Liego to E(L_{1}⊕L_{2}) jest izomorficzne z produktem tensorowym E(L_{1}) ⊗ E(L_{2}) z działaniem po składowych.

5. Dla algebry przemiennej L algebra E(L) jest izomorficzna z algebrą wielomianów (dokładniej z algebrą symetryczną).

6. Niech L będzie algebrą Liego nad R. Istnieje taki homomorfizm Λ : E(A) ↦ E(A) ⊗ E(A) że dla każdego x ∈ L mamy Λ(ι(x)) = ι(x) ⊗ 1 + 1 ⊗ ι(x). Ponadto, jeśli R jest ciałem charakterystyki 0 to ι(L) = {y ∈ E(A) : Λ(y) = y ⊗ 1 + 1 ⊗ y}.

Wskazówka: Λ odpowiada diagonalnemu włożeniu L w L ⊕ L. Drugą część pokazać najpierw dla algebry przemiennej, potem pokazać że dla nieprzemiennego L odwzorowanie Λ różni się tylko o człony niższego rzędu.

Wielokrotny komutator [x_{1}, x_{2}, …, n_{n}] definujemy rekurencyjnie jako

[x_{1}, [x_{2}, …, n_{n}]].

7. Niech N będzie modułem wolnym nad R zaś T (N) algebrą tensorową (wolną algebrą łączną) nad N. Niech L będzie podalgebrą Liego T (N) generowaną przez N. Pokazać że L jest wolną algebrą Liego generowaną przez N zaś T (N) jest jej uniwersalną algebrą obwiednią. Niech D będzie odzorowaniem T (N) w T (N) które na tensorach rzędu n jest zadane wzorem D(x_{1}⊗⋯⊗x_{n}) = [x_{1}, …, x_{n}] gdzie x_{i} ∈ N zaś [x_{1}, …, x_{n}] to wielokrotny komutator. Pokazać że dla y ∈ L które są jednorodne rzędu n mamy D(y) = ny.

Wskazówka: W drugiej części najpierw indukcyjnie pokazać że dla x ∈ L, y ∈ T (N) mamy D(x ⊗ y) = [x, D(y)]. Potem zauważyć że dla x, y ∈ L mamy D([x, y]) = [D(x), y] + [x, D(y)] i jeszcze raz użyć indukcję.

Definicja: Niech V bedzie przestrzenią wektorową, zaś L ⊂ T (V) wolną algebrą Liego nad V. Szeregiem Liego nazywamy formalną sumę ∑_{k=1}^{∞} a_{k} gdzie a_{k} ∈ L jest tensorem jednorodnym rzędu k. Podobnie, jeśli a_{k} ∈ T (V) są jednorodne rzędu k to formalną sumę powyżej nazywamy formalym szeregiem potęgowym. Zbiór szeregów formalnych oznaczymy przez T̃(V). T̃(V) jest uzupełnieniem T (V) w metryce d(x, y) = 2^{−n} gdzie n jest minimalnym rzędem składowej jednorodnej x − y (jeśli x = y to d(x, y) = 0).

8. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ℚ. Sprawdzić że jeśli x jest elementem T̃(V) ze składową jednorodną rzędu 0 równą 0 to exp(x) = ∑_{k=0}^{∞} x^{k}/(k!) jest dobrze zdefiniowane. Podobnie log(1 + x) = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k+1}x^{k}/k jest dobrze zdefinowane. Ponadto exp(log(1 + x)) = 1 + x i log(exp(y)) = y zaś jeśli x i y komutują to exp(x + y) = exp(x) exp(y).

Wskazówka: Aby pokazać że log(exp(y)) = y zdefiniować różniczkowanie i obliczyć pochodną log(exp(ty)).

9. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ℚ z bazą {x, y}. Pokazać że M(x, y) = log(exp(x) exp(y)) jest szeregiem Liego. Ponadto

M(x, y) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k} ∑_{α_{i}+β_{i}≥1} \frac{[x^{α_{1}}, y^{β_{1}}, …, x^{α_{k}}, y^{β_{k}}]}{(α_{1} + β_{1} + ⋯ + β_{k})α_{1}!β_{1}! … β_{k}!}

gdzie

[x^{α_{1}}, y^{β_{1}}, …, x^{α_{k}}, y^{β_{k}}] = ad_{x}^{α_{1}}ad_{y}^{β_{1}} … ad_{x}^{α_{k}}y

dla β_{k} = 1. Jeśli β_{k} > 1 to powyższe wyrażenie jest równe 0, zaś dla β_{k} = 0 mamy podobny wzór z ostatnim członem równym x. Powyższy wzór nazywamy wzorem Campbella-Bakera-Hausdorffa.

Wskazówka: Aby pokazać że M(x, y) jest szeregiem Liego pokazać że

Λ̃(exp(M(x, y))) = exp(M(x, y)) ⊗ exp(M(x, y)),

przejść do logarytmów i zastosować kryterium z zadania 6. Wzór otrzymamy teraz rozwijając złożenie względem x i y i stosując zadanie 7.

10. Pokazać że jeśli G jest grupą Liego z gładkim mnożeniem zaś L jest algebrą Liego G to mnożenie w G w pewnym otoczeniu 1 we współrzędnych exponencjalnych jest zadane wzorem Campbella-Bakera-Hausdorffa.

Wskazówka: Pokazać że wzór zadaje lokanie zdefiniowane działanie które jest łączne o ile odpowienie produkty są dobrze zdefiniowane (jest to tak zwana lokalna grupa Liego). Potem użyć twierdzenie Frobeniusa, podobnie jak w dowodzie o istnieniu podgrupy i jedyności grupy związanej z algebrą.

Uwaga1: To pokazuje że na gładkiej grupie Liego można wprowadzić strukturę analityczną.

Uwaga2: Jeśli L jest przestenią Banacha zaś komutator jest ciągły to wzór Campbella-Bakera-Hausdorffa zadaje szereg zbieżny w pewnym otoczeniu 0 w L. Jednakże, istnieją nieskończenie wymiarowe L takie że nie odpowiada im grupa Banacha-Liego (rozmaitość Banacha z analitycznym mnożeniem), a więc sama zbieżność szeregu nie wystarcza do pokazania istnienia grupy.

11. Pokazać że dla algebry nilpotentej szereg Campbella-Bakera-Hausdorffa jest wielomianem i wywnioskować stąd istnienie grupy. Dla algebr długości 2 i 3 podać jawny wzór (tzn. pomijający wyrazy szeregu równe zeru dla takich algebr).

Formę dwuliniową ϕ na algebrze Liego nazywamy formą niezmienniczą jeśli ϕ([x, y], z) + ϕ(y, [x, z]) = 0.

12. Jeśli L jest algebrą Liego and ciałemi K, V jest modułem Liego nad L który jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad K to forma K_{V} (x, y) = Tr(ρ(x)ρ(y)) gdzie ρ(x) : V ↦ V jest działaniem x, jest symetryczną formą niezmienniczą na L.

13. Pokazać że jeśli L jest skończenie wymiarową prostą algebrą Liego nad ciałem charakterystyki 0, to dowolna symetryczna forma niezmiennicza na L jest wielokrotnością formy Killinga. A więc dla nietrywialnego modułu Liego nad L forma z zadania 12 jest niezdegenerowana.

14. Pokazać że jeśli L jest skończenie wymiarową półprostą algebrą Liego nad ciałem algebraicznie domkniętym charakterystyki 0, e_{1}, …, e_{n} jest bazą L, f_{1}, …, f_{n} jest bazą dualną względem formy Killinga (tzn. K(e_{i}, f_{j}) = δ_{i,j}) to element ∑_{i=1}^{n} e_{i}f_{i} ∈ E(L) leży w centum E(L). Element ten nazywamy (uniwersalnym) operatorem Casimira.

Wskazówka: Jeśli [x, e_{i}] = ∑_{j}^{n} a_{i,j}e_{j}, [x, f_{j}] = ∑ b_{i,j}f_{i} to niezmienniczość implikuje że a_{i,j} + b_{i,j} = 0.