1. Sprawdzić że podana na wykładzie realizacja grupy Heisenberga jest izomorficzna z realizacją przy pomocy macierzy. Przypominam że pierwsza realizacja to ℝ^{3} z mnożeniem zadanym wzorem (x_{1}, y_{1}, z_{1})(x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} +y_{2}, z_{1} +z_{2} + \frac{1}{2}(x_{1}y_{2} −x_{2}y_{1})). Realizacja macierzami to macierze postaci:

( \begin{matrix}1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

2. Sprawdzić że wzór (x_{1}, y_{1})(x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, exp(x_{2})y_{1} + y_{2}) zadaje na ℝ^{2} strukturę grupy Liego. Pokazać że grupa ta jest izomorficzna z grupą przekształceń afinicznych prostej zachowujących orientację.

3. Niech Aut(H) oznacza grupę automorfizmów grupy H, zaś A jest homomorfizmem z G w Aut(H). Na produkcie grup G i H wprowadzamy mnożenie wzorem:

(g_{1}, h_{1})(g_{2}, h_{2}) = (g_{1}g_{2}, (A(g_{2}^{−1})h_{1})h_{2})

Otrzymujemy w ten sposób grupę nazywaną produktem półprostym G i H (sprawdzić). Pokazać że jeśli G i H są grupami Liego i A jest odwzorowaniem gładkim (jako odwzorowanie z G × H w H) to produkt półprosty G i H jest grupą Liego.

4. Przestawić jako produkt półprosty następujące grupy: grupę przekształceń afinicznych na przestrzni euklidesowej, grupę isometrii przestrzni euklidesowej, grupę Heisenberga, grupę macierzy górno-trójkątnych (tzn. takich że wszyskie elementy poniżej diagonali są zerami).

5. Przestrzeń k-dżetów odwzorowań ℝ^{m} w ℝ^{n} w punkcie 0 to przestrzeń ilorazowa przestrzeni wszystkich funkcji gładkich z ℝ^{m} w ℝ^{n} przez podprzestrzeń funkcji których k + 1 pochodnych w 0 znika. Z definicji wynika że pochodne do rzędu k w 0 są dobrze zdefiniowane dla k-dżetów (nie zależą od wyboru reprezentantów). Pokazać że przestrzeń k-dżetów odwzorowań ℝ^{n} w ℝ^{n} w punkcie 0 takich że wartość w 0 to 0 i pierwsza pochodna jest odwracalna ma naturalną strukturę grupy Liego (działaniem jest składanie (dżetów) odwzorowań).

6 Pokazać że następujące przestrzenie są izomorficzne

• Przestrzeń klas równoważności krzywych gładkich γ : [−1, 1] ↦ ℝ^{n} takich że γ(0) = 0, gdzie za równoważne uznajemy krzywe mające tą samą pochodną w 0, z dodawaniem krzywych po współrzędnych

• Przestrzeń funkcjonałów liniowych na 1-dżetach odwzorowań z ℝ^{n} w ℝ w punkcie 0 takich że wartość w 0 to 0 Przy tym izomorfizm jest naturalny, tzn. taki sam wzór działa jeśli zamiast ℝ^{n} mamy dowolną izomorficzną z nią przestrzeń. Ponadto, izomorfizm zależy tylko od zachowania krzywych (jetów) w dowolnie małym otoczeniu 0 i komutuje z dyfeomorfizmami (lokalnymi) zachowującymi 0.

Przypominam że różniczkowanim na pierścieniu funkcji gładkich T nazywamy ℝ-liniowe odwzorowanie D : T ↦ T spełniające wzór Leibnitza D(fg) = fD(g) + D(f)g

7 Sprawdzić że jeśli D_{1} i D_{2} są różniczkowaniami to ich komutator D_{1}D_{2} − D_{2}D_{1} też jest różniczkowaniem.

8 Niech U będzie podzbiorem otwartym ℝ^{n}. Pokazać że każde różniczkowanie T = C^{∞}(U) jest postaci ∑ f_{i}∂_{x_{i}} gdzie f_{i} ∈ T

9 Wyznaczyć algebry Liego następujących grup: grupy z zadania2, GL(n, R), SL(2, ℝ) i grupy która jako rozmitość jest równa ℝ × ℂ z mnożeniem zadanym wzorem: (x_{1}, y_{1})(x_{2}, y_{2}) = (x_{1} +x_{2}, exp(ix_{2})y_{1} +y_{2}) (ta grupa jest izomorficzna z nakryciem jednospójnym grupy izometrii płaszczyzny).