1. Jeśli L jest algebrą Liego nad ciałem K, V jest modułem Liego nad L który jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad K to forma K_{V} (x, y) = Tr(ρ(x)ρ(y)) gdzie ρ(x) : V ↦ V jest działaniem x, jest symetryczną formą niezmienniczą na L.

Uwaga: W szczególności wynika stąd niezmienniczość formy Killinga.

2. Pokazać że jeśli L jest skończenie wymiarową prostą algebrą Liego nad ciałem charakterystyki 0, to dowolna symetryczna forma niezmiennicza na L jest wielokrotnością formy Killinga. A więc forma z zadania 1 jest zerowa lub niezdegenerowana.

3. Pokazać że skończenie wymiarowa algebra półprosta nad ciałem charakterystyki 0 jest sumą prostą algebr prostych.

4. Pokazać że skończenie wymiarowa algebra półprosta L nad ciałem liczb rzeczywistych jest algebrą Liego pewnej grupy zwartej G wtedy i tylko wtedy gdy forma Killinga L jest ujemnie określona.

Wskazówka: Dla algebr prostych rozważyć obraz L w unitarnej reprezentacji G.

5. Pokazać że jeśli L jest skończenie wymiarową półprostą algebrą Liego nad ciałem algebraicznie domkniętym charakterystyki 0, e_{1}, …, e_{n} jest bazą L, f_{1}, …, f_{n} jest bazą dualną względem formy Killinga (tzn. K(e_{i}, f_{j}) = δ_{i,j}) to element ∑_{i=1}^{n} e_{i}f_{i} ∈ E(L) leży w centum uniwersalnej algebry obwiedniej E(L). Element ten nazywamy (uniwersalnym) operatorem Casimira.

Wskazówka: Jeśli [x, e_{i}] = ∑_{j}^{n} a_{i,j}e_{j}, [x, f_{j}] = ∑ b_{i,j}f_{i} to niezmienniczość implikuje że a_{i,j} + b_{i,j} = 0.

6. Niech A będzie algebra Liego zwartej grupy Liego G i niech T będzie maksymalną spójną abelową podgrupą G. Pokazać że algebra Liego T jest podalgebrą Cartana w A.

7. W grupie G = SU(n) znaleźć maksymalą spójną podgrupę przemienną T i jej algebrę Liego. Wyznaczyć W̃ = {g ∈ G : gT g^{−1} = T }. Jak W̃ działa na algebrze Liego T?