1. Niech A będzie półprostą algebrą Liego nad ciałem liczb zespolonych, niech G będzie (zespoloną) spójną grupą Liego z algebrą Liego A. Oznaczmy przez Int(A) podgrupę grupy automorfizmów A odpowiadajacych automorfizmom wewnętrznym G (tzn. i_{g}(x) = gxg^{−1}, ϕ(g) = Di_{g}|_{x=e}, Int(A) = ϕ(G)). Pokazać że Int(A) jest generowana przez elementy postaci exp(ad_{x}) dla x ∈ A takich że ad_{x} jest nilpotentny.

Wskazówka: Zrobić to najpierw dla grupy SL(2, ℂ)

2. Algebra Liego sl(2, F) jest generowana przez elementy H, X, Y takie że H = [X, Y], [H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y. Niech M będzie modułem prostyn dla sl(2, F) i niech v ∈ M będzie wektorem własnym H. Pokazać że M jest rozpinany przez {v} ∪ {X^{k}v : k > 0} ∪ {Y^{k}v : k > 0}. Jeśli M jest skończenie wymiarowy a F jest algebraicznie domknięte charakterystyki 0 to istnieje v taki v jest wektorem własnym H i Xv = 0. Niech λ będzie wartością własną H odpowiadającą v, tzn. Hv = λv i niech v_{k} = Y^{k}v. Pokazać że Hv_{k} = (λ−2k)v_{k} i wywnioskować stąd że ∑(λ−2k) gdzie suma jest po takich k że v_{k} ≠ 0. Pokazać że suma jest równa 0 tylko wtedy gdy λ = m gdzie m jest maksymalnym k takim że v_{k} ≠ 0. Wywnioskować stąd że M jest izomorficzny z jednym z modułów z zadnia 1 z listy 8. Ponadto T r_{M}(H^{2}) > 0. Uzasadnić że wynik pozostaje prawdziwy bez założenia algebraicznej domkniętości F.

3. Niech A będzie skończenie wymiarową skończenie wymiarową półprostą algebrą Liego nad ciałem algebraicznie domkniętym charakterystyki 0 z podalgebrą Cartana C, zaś M będzie modułem skończenie wymiarowym nad A. Niech elementy h_{α} ∈ C będą zdefiniowane jak na wykładzie. Pokazać że T r_{M}(h_{α}^{2}) jest liczbą całkowitą dodatnią.

4. Pokazać że skończenie wymiarowy moduł Liego nad skończenie wymiarową półprostą algebrą Liego nad ciałem charakterystyki 0 jest sumą prostą modułów prostych.

Wskazówka: Użyć formę K_{V} z zadania 1 listy 10. Niezerowość formy wynika z zadnia 3.

5. Riemannowską przestrzenią symtetryczną nazywany spójną rozmaitość Riemanna M taką że dla że dla każdego x ∈ M istnieje gładka izometia σ_{x} : M ↦ M taka że σ_{x} = x, σ_{x}^{2} = id_{M}, istnieje otoczenie V_{x} punktu x, takie że σ_{x}(V_{x}) = V_{x} i x jest jedynym punktem stałym σ_{x} na V_{x}. Niech G będzie grupą izometrii M. Pokazać że przy tych założeniach G jest grupą Liego i działa tranzytywnie na M. Niech K będzie stabilizatorem ustalonego punktu x ∈ M. Wtedy M jest dyfeomorficzne z G/K zaś K jest zwarte. Ponadto g ↦ ψ(g) = σ_{x}gσ_{x} jest automorfizmem G takim że ψ^{2} = id_{G}. Niech ϕ będzie pochodną ψ w identyczości G. Wtedy algebra Liego g grupy G ma rozkład g = k ⊕ p gdzie k jest podprzestrzenią punktów stałych ϕ zaś k jest podprzestrzenią własną ϕ odpowiadającą wartości własnej −1. Przy tym [k, k] ⊂ k, [k, p] ⊂ p i [p, p] ⊂ k. Ponadto k jest algebrą Liego K.

Wskazówka: Aby pokazać tranzytywność rozważyć bliskie x i y i geodetykę łączącą x z y. Jeśli z jest punktem geodetyki równo odległym od x i od y to σ_{z}(x) = y.

6. Pokazać że jeśli g jest algebrą Liego grupy Liego G, zaś ϕ jest automorfizmen g takim że ψ^{2} = id_{g}, k i p zdefinujemy jak w zadaniu wyżej i k jest algebrą Liego zwartej podgrupy K, to G/K można zaopatrzyć w strukturę Riemannowskiej przestrzeni symetrycznej. W takim przypadku parę (g, k) nazywamy Riemannowską parą symetryczną.