1. Wyznaczyć podalgebrę Cartana i układ pierwiastków dla kompleksyficji algebr Liego grup SU(3), SO(5) i Sp(2). Grupę Sp(n) definiujemy jako podgrupę SU(2n) składającą się z elementów komutujących z operatorem J zadanym wzorem J(x, y) = (−y, x) dla x, y ∈ ℂ^{n}. Sp(n) ma układ pierwiastków C_{n} dla n ≥ 2.

Definicja: Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową z dodatnio określonym iloczynem skalarnym nad pewnym podciałem ciała liczb rzeczywistych. Λ ⊂ V − {0} jest układem pierwiastków jeśli Λ jest skończony, rozpina V i jest niezmienniczy na odbicia wzgędem swoich elementów, tzn. dla dowolnego α ∈ Λ mamy σ_{α}(Λ) = Λ. Układ pierwiastów nazwywamy krystalograficznym, jeśli dla dowolnych α, β ∈ Λ liczba 2(α, β)/(α, α) (gdzie (α, β) oznacza iloczyn skalarny) jest całkowita. Gdy Λ_{1} ⊂ V_{1} i Λ_{2} ⊂ V_{2} są układami pierwiastków to sumą ich prostą nawywamy układ pierwiastków w V_{1} ⊕ V_{2} (z naturalym iloczynem skalarnym) otrzymany jako suma obrazów Λ_{1} i Λ_{2} przez naturalne włożenia. Układ pierwiastków nazywamy nierozkładalnym gdy nie da się go przedstawić jako sumę prostą.

2. Niech Λ ⊂ V będzie układem pierwiastków i niech V_{1} będzie podprzestrzenią V. Pokazać że Λ ∩ V_{1} jest albo puste albo jest układem pierwiastów dla pewnej podprzestrzeni V_{1}. W szczególności niech α, β ∈ Λ będą liniowo niezależne i niech V_{α,β} = lin{α, β}. Wtedy Λ ∩ V_{α,β} jest układem pierwiastków.

Definicja: Dla α ∈ Λ niech e_{α} = α/|α|.

3. Niech Λ będzie układem pierwiastów w przestrzni dwuwymiarowej nad ℝ. Pokazać że e_{α} są wierzchołkami 2n-kąta foremnego dla pewnego n ∈ Z. Ponadto pokazać że grupa generowana przez odbicia względem elementów Λ ma na {e_{α}} co najwyżej dwie orbity.

4. Pokazać że układ pierwiastków Λ ⊂ V jest krystalograficzny wtedy i tylko wtedy gdy moduł nad liczbami całkowitymi rozpinany przez Λ jest dyskretnym podzbiorem V.

Wskazówka: Aby pokazać że układ jest krystalograficzny rozważyć podukład w przestrzeni dwuwymiarowej.

5. Pokać że {e_{α} : α ∈ Λ} jest układem pierwiastków. Podać przykład gdy Λ jest układem krystalograficznym, ale {e_{α} nie tworzą układu krystalograficznego.

Definicja: Niech ω ∈ V będzie wektorem takim że (α, ω) ≠ 0 dla α ∈ Λ, Λ_{+} = {α ∈ Λ : (α, ω) > 0}. Λ_{+} nazywamy zbiorem pierwiastków dodatnich. Kierunkiem ekstemalnym stożka wypukłego S nazyway taki element v ∈ S że v nie daje się przedstawić jako kombinacja wypukła elementów S nie będących wielokrotnościami v. Niech Δ ⊂ Λ_{+} będzie zbiorem tych elementów Λ_{+} które dają wszystkie kierunki ekstremalne stożka wypukłego generowanego przez Λ_{+}. Jeśli jest więcej niż jeden wektor z Λ_{+} o danym kierunku ekstremalnym to wybieramy najkrótszy. Δ nazywamy zbiorem pierwiastków prostych.

Uwaga: Zbiór Λ_{+} zależy od ω, ale różne wybory dają równoważne własności.

6. Pokazać że dla α, β ∈ Δ mamy (α, β) ≤ 0. Ponadto kąt pomiędzy α a β to (n − 1)π/n dla pewngo n ∈ ℤ. Wywnioskować stąd że Δ jest bazą V.

Wskazówka: Rozważyć układ dwuwymiarowy w podprzestrzni rozpinanej przez α i β.

Definicja: Diagramem Coxetera-Dynkina (lub krótko diagramem Dynkina) związanym z Λ nazywany graf którego wierchołkami są elementy Δ zaś krawędzię są pomiędzy takimi α, β ∈ Δ że (α, β) < 0. Przy tym krawędzi przypisujemy wagę n jeśli kąt pomiędzy α a β to (n − 1)π/n.

7. Pokazać że diagram Coxetera-Dynkina nie zwiera cykli.

Wskazówka: Jeśli α_{i} dla i = 1, …, k stanowią cykl, to niech v = ∑_{i=1}^{k} e_{α_{i}}. Pokazać że wtedy (v, v) ≤ 0.

8. Dla α, β ∈ Δ niech q_{α,β} = (e_{α}, e_{β}). Niech S ⊂ Δ, α ∉ S. Pokazać że wtedy ∑_{β∈S} q_{α,β}^{2} < 1

Wskazówka: Można zakładać że q_{α,β} ≠ 0. Wywnioskować stąd że q_{β_{1},β_{2}} = 0 dla β_{1}, β_{2} ∈ S.

9. Pokazać że diagram Coxetera-Dynkina jest spójny wtedy i tylko wtedy gdy układ pierwiastków jest nierozkładalny.

10. Pokazać że spójny diagram Dynkina z krawędzią wagi ≥ 6 ma dwa wierzchołki.

Wskazówka: Użyć wynik zadania 7.

11. Pokazać że wierzchołek diagramu Dynkina jest połączony z co najwyżej trzema innymi wierzchołkami. Jeśli jest połączony z trzema wierzchołkami to wagi krawędzi to 3. Żaden wierzołek nie należy do dwu krawędzi wagi ≥ 4.

12. Spójny diagram Dynkina zawiera co najwyżej jeden punkt rozgałęzienia i co najwyżej jedną krawędź wagi ≥ 4. Jeśli jest punkt rozgałęzienia to wszystkie wagi to 3.

13. Jeśli jest krawędź wagi 5 to jest ona na końcu, a diagram ma co najwyżej 4 wierzchołki.

14. Jeśli krawędz wagi 4 nie jest na końcu, to są tylko 4 wierzchołki.

15. Jeśli jest punkt rozgałęzienia, to jedno z odgałęzień ma długość 1, a drugie długość co najwyżej 2.

16. Jeśli jest punkt rozgałęzienia i jedno z odgałęzień ma długość 2, to najdłuższe odgałęzienie ma długość 4.

Definicja: Groupą Weyla W nazywamy grupę generowaną przez odbicia względem elementów układu pierwiastków. Niech

U = {x ∈ V : (x, α) = 0 dla pewnego α ∈ Λ}

Komórką Weyla nazywamy składową spójną U.

17. Pokazać że {x ∈ V : (x, α) > 0dla α ∈ Δ} jest komórką Weyla.

18. Pokazać że grupa generowana przez odbicia względem pierwiastków prostych Δ (a więc również grupa Weyla W) działa tranzytywnie na zbiorze komórek Weyla. Wywnioskować stąd że diagram Coxetera-Dynkina jest jednoznacznie wyznaczony przez układ pierwiastków (nie zależy od wybranego porządku).

Wskazówka: Niech F będzie sumą fragmentów kowymiaru 2 scian komórek Weyla. Sprawdzić że V − F pozostaje spójne, zaś orbita domknięcia komórki Weyla jest zarówno otwarta jak i domknięta w V − F.

19. Pokazać że grupa Weyla W jest generowana przez odbicia względem pierwiastków prostych Δ.

Wskazówka: W wymiarze 2 pokazać to bezpośrednio. Dla wyższych wymiarów rozważyć najpierw pierwiastki leżące na brzegu stożka rozpinanego przez Δ.

Definicja: Układ pierwiastków Λ nazywamy zredukowanym jeśli dla dowolego α ∈ Λ mamy {t ∈ ℝ : tα ∈ Λ} = {−1, 1}

20. Pokazać że zredukowany układ pierwiastków jest jednoznacznie wyznaczony przez długości pierwiastków prostych i diagram Coxetera-Dynkina.

21. Pokazać że jeśli układ pierwiastków jest krystalograficzny to każdy pierwiastek ma taką długość jak pewien pierwiastek prosty. Jeśli układ jest nierozkładalny to są co najwyżej dwie długości.