1. Parę grup (G, K) gdzie G jest lokalnie zwarta zaś K jest zwarta nazywamy parą Gelfanda jeśli algebra splotowa funkcji dwustronnie K niezmienniczych (tzn. spełniających warunek ∀_{x∈G,k_{1},k_{2}∈K}f(x) = f(k_{1}xk_{2})) jest przemienna. Pokazać że jeśli dla dowolnego x ∈ G zachodzi x^{−1} ∈ KxK to para (G, K) jest parą Gelfanda. Pokazać że jeśli para grup Liego (G, K) jest Riemannowską parą symetryczną (tzn. para ich algebr Liego spełnia warunek z zadania 6 z listy 11), to spełniony jest warunek powyżej i para (G, K) jest parą Gelfanda.

2. Grupa SO^{+}(n, 1) to spójna składowa jedynki w grupie macierzy rzeczywistych zachowujących formę kwadratą o sygnaturze (n, 1). Pokazać że naturalne włożenie SO(n) w SO^{+}(n, 1) daje maksymalną podgrupę zwartą w SO^{+}(n, 1). Pokazać że para (SO^{+}(n, 1), SO(n)) z automorfizmem ψ(x) = (x^{−1})^{T} gdzie x^{T} oznacza transpozycję jest parą symetryczną. Opisać rozkład algebry Liego na podprzestrzenie k i p. Pokazać że maksymalne podprzestrzenie abelowe w p są jednowymiarowe.

3. Niech L_{1} będzie podzbiorem w ℝ^{8} składającym się z wektorów o współczynnikach całkowtych, takich że suma składowch ∑ x_{i} jest parzysta. Niech L_{3} = L_{1} + ℤw gdzie w = (1/2, 1/2, …, 1/2). Pokazać że L_{3} jest dyskretną podgrupą ℝ^{8} i że dla dowolnych v_{1}, v_{2} ∈ L_{3} mamy (v_{1}, v_{2}) ∈ ℤ. Niech Λ = {v ∈ L_{3} : (v, v) = 2}. Opisać elementy Λ. Pokazać że Λ jest układem pierwiastków z diagramem Dynkina E_{8} i że Λ ma 240 elementów.