1. Pokazać że jeśli G jest grupą Liego z gładkim mnożeniem zaś L jest algebrą Liego G to mnożenie w G w pewnym otoczeniu jedynki we współrzędnych exponencjalnych jest zadane wzorem Campbella-Bakera-Hausdorffa.

Wskazówka: Pokazać że wzór zadaje lokanie zdefiniowane działanie które jest łączne o ile odpowienie produkty są dobrze zdefiniowane (jest to tak zwana lokalna grupa Liego). Potem użyć twierdzenie Frobeniusa, podobnie jak w dowodzie o istnieniu podgrupy i jedyności grupy związanej z algebrą.

Uwaga1: To pokazuje że na gładkiej grupie Liego można wprowadzić strukturę analityczną.

Uwaga2: Jeśli L jest przestenią Banacha zaś komutator jest ciągły to wzór Campbella-Bakera-Hausdorffa zadaje szereg zbieżny w pewnym otoczeniu 0 w L. Jednakże, istnieją nieskończenie wymiarowe L takie że nie odpowiada im grupa Banacha-Liego (rozmaitość Banacha z analitycznym mnożeniem), a więc sama zbieżność szeregu nie wystarcza do pokazania istnienia grupy.

2. Dla algebry nilpotentej nad ℝ szereg Campbella-Bakera-Hausdorffa jest wielomianem co implikuje istnienie grupy. Dla algebr długości 2 i 3 podać jawny wzór (tzn. pomijający wyrazy szeregu równe zeru dla takich algebr).

3. Niech X będzie zbiorem, N będzie przestrznią wektorową nad ℚ z bazą X, T [[N]] = ∏_{n} N^{⊕n} będzie uzupełnieniem algebry tensorowej, LV [[N]] będzie uzupełnieniem podalgebry Liego T [[N]] generowanej przez N. W LV [[N]] wprowadzamy mnożenie wzorem Campbella-Bakera-Hausdorffa, tzn

xy = log(exp(x) exp(y))

gdzie po prawej stronie mamy mnożenie w T [[N]]. Pokazać że podgrupa G grupy otrzymanej z LV [[N]] z tym działamiem, generowana przez X jest grupą wolną, tzn, dowolne odwzorowanie X w grupę H przedłuża się jednoznacznie do homomorfizmu G w H.

Wskazówka: Pokazać że każdy element G może być jednoznacznie zapisany w postaci x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}} … x_{n}^{k_{n}} gdzie x_{i} ∈ X, x_{i} ≠ x_{i+1}, k_{i} ∈ ℤ, k_{i} ≠ 0. Dla jednoznaczności rozwinąć exp(k_{i}x_{i}) w szereg i zauważyć że produkt szeregów nie może być równy 1.

4. Niech L będzie nilpotentną algebrą Liego stopnia nilpotentności l nad pierścieniem R takim że l! jest odwracalne we R. Wtedy szereg Campbella-Bakera-Hausdorffa daje dobrze zdefiniowane mnożenie w L. Pokazać że jeśli I jest ideałem w L to względem tego mnożenia I jest podgrupą normalną. Odwrotnie, jeśli R jest ilorazem ℤ to każda podgrupa normalna L jest tej postaci.

Wskazówka: Niech T będzie podgrupą zaś I generowaną przez nią algebrą i niech I_{1} = I, I_{K+1} = [I, I_{k}]. Indukcyjnie pokazać że T + I_{k} jest podmodułem nad ℤ, i że I = T + I_{k}.

Definicja: Niech G będzie dowolną grupą zaś M i N będą jej podgrupami. Komutator [M, N] definujemy jako podgrupę G generowaną przez elementy postaci ghg^{−1}h^{−1} dla g ∈ M, h ∈ G_{k}. Zstępujący ciąg centralny G_{n} definujemy następująco: G_{1} = G zaś G_{k+1} = [G, G_{k}].

5. Sprawdzić że jeśli H, M, N są podgrupami normalnymi w G to [[H, M], N] ⊂ [[M, N], H][[H, N], M]

6. Pokazać że G_{k} jest podgrupą normalną w G i G_{k}/G_{k+1} leży w centrum G/G_{k+1} (w szczególności G_{k}/G_{k+1} jest abelowe). Ponadto [G_{k}, G_{l}] ⊂ G_{k+1}.

Wskazówka: Ostatni wzór pokazujemy indukcyjnie przy pomocy zadania 3.

7. Niech W_{k} = G_{k}/G_{k+1} i W = ⊕_{k}W_{k}. Zakładamy że G jest grupą nilpotentną. Pokazać że na W można zadać strukturę algebry Liego nad ℤ tak że dla [x] ∈ W_{k}, [y] ∈ W_{l} mamy [[x], [y]] = [xyx^{−1}y^{−1}] ∈ W_{l+k}.

8. Niech H = LV [[N]] gdzie jak w zadaniu 3 na LV [[N]] mnożenie wprowadzamy wzorem Campbella-Bakera-Hausdorffa i niech γ_{l} będzie podzboprem LV [[N]] składajacym się z szeregów których składowe jednorodne rzędu mniejszego niż k są zerami. Pokazać że H_{k} ⊂ γ_{k} i że dla dowolnego l > k zachodzi (H_{k} +γ_{l})/(H_{k+1} +γ_{l}) = LV [N]_{k} gdzie LV [N]_{k} jest zbiorem elementów LV [[N]] które są tensorami jednorodnymi rzędu k. Ponadto dla grupy G z zadania 3 zachodzi G_{k} = G ∩ γ_{k}.

Wskazówka: H/γ_{k+1} jest grupą nilpoteną stopnia nilpotentności k. G_{k+1} leży w jądrze dowolnego homomorfizmu z G w grupę nilpoteną stopnia nilpotentności k.

9. Niech G będzie grupą nilpotentną. Zakładamy dodatkowo że G jest podzielna i beztorsyjna, tzn. dla dowolnego x ∈ G i całkowtego n > 0 istnieje y ∈ G taki że y^{n} = x. Pokazać że wtedy algebrę Liego W grupy G zdefiniowana w zadaniu 7 można potraktować jako algebrę Liego nad liczbami wymiernymi zaś G jest izomorficzna z grupą otrzymaną przy pomocy wzoru Campbella-Bakera-Hausdorffa z W. W szczególności takie grupy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy gdy ich algebry Liego są izomorficzne.

Wskazówka: Niech X będzie bazą W_{1} nad ℚ. Z zadania 3 wywnioskować że istnieje homomorfizm z podgrupy LV [[W_{1}]] generowanej przez W_{1} na G. Resztę dostać z zadań 8 i 4.

10. Niech G będzie skończoną p-grupą (tzn. G ma p^{k} elementów dla pownego k) stopnia nilpotentności l < p. Zauważyć że na algebrze Liego W grupy G wzór Campbella-Bakera-Hausdorffa zadaje strukturę grupy i że G jest izomorficzna z W.

Wskazówka: Zadanie 8 pokazuje że G jest ilorazem "wolnej"grupy nilpotentnej stopnia nilpotentności l. Tą grupę można traktować jako podgrupę wolnej algebry nilpotenej nad pierścieniem ℤ/(p^{k}ℤ).

11. Niech N będzie modułem wolnym nad pierścieniem R. Niech LV [N] będzie podalgebrą Liego T (N) generowną przez N. Pokazać że dowolne odwzorowanie liniowe z N w LV [N] można jednoznacznie przedłużyć do różniczownia LV [N].

Wskazówka: Najpierw zdefiniować różniczkowanie T (N).