1. Na ℝ^{n} wprowadzamy topologie Zariskiego przyjmując że zbiory domkniete do dokładnie te zbiory które są zbiorami wspólnych zer układu wielomianów. Na podzborach ℝ^{n} topologię Zariskiego wprowadzamy jako topologię podprzestrzeni. Pokazać że jeśli U jest zbiorem otwartym w topologii Zariskiego, f jest funkcją wymierną, taką że mianownik f jest różny od 0 na U to f jest ciągła w topologi Zariskiego (tzn. przeciwobrazy zbiorów domkniętch w topologi Zariskiego przez f są domknięte w topologi Zariskiego). Pokazać że jeśli na ℝ × ℝ wprowadzimy produkt toplogii Zariskiego to dodawanie będzie nieciągłe. Pokazać że jeśli grupa G jest podzbiorem domkniętym ℝ^{n} w topologi Zariskiego zaś działania grupowe na G są zadane przez funkcje wymierne których mianowniki są różne od zera na G to mnożenie jest ciągłe z G × G z topologią Zariskiego odziedziczoną z ℝ^{2n} w G (z topologią Zariskiego).

Defincja. Ogólną algebrę Liego definiujemy następująco: algebra Liego nad pierścieniem R to moduł nad R z operacją [x, y] (nawiasem Liego) spełniającym:

[c_{1}x_{1} + c_{2}x_{2}, y] = c_{1}[x_{1}, y] + c_{2}[x_{2}, y]
[x, c_{1}y_{1} + c_{2}y_{2}] = c_{1}[x, y_{1}] + c_{2}[x, y_{2}]
[x, y] = −[y, x]
[x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]]

Pierwsze dwa warunki to dwuliniowość, trzeci to antysymetria (w charakterystyce 2 należełoby pisać [x, x] = 0), zaś czwarty nosi nazwę tożsamości Jacobiego. Najczęściej będzimy rozważać algebry Liego które są skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałami.

Operacja D jest różniczkowaniem algebry Liego A jeśli D jest R-liniowe i spełnia wzór Leibnitza: D[x, y] = [Dx, y] + [x, Dy].

2. Sprawdzić że jeśli A jest (raczej nieprzeminną) algebrą łączną nad R to A z nawiasem Liego wprowadzonym wzorem [X, Y] = XY − Y X jest algebrą Liego. (W szczególności algebra Liego grupy Liego tak jak definiowaliśmy ją na wykładzie jest algebrą Liego).

Komentarz: Razem z zadaniem 7 z listy 1 pokazuje to że różniczkowania algebry łącznej (lub algebry Liego) tworzą algebrę Liego.

3. Sprawdzić że suma prosta algebr Liego A_{1} i A_{2} zdefinowana jako ich suma prosta jako modułów z nawiasem Liego po składowych [(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})] = ([x_{1}, y_{1}], [x_{2}, y_{2}]) jest algebrą Liego. Sprawdzić że jeśli B jest R-liniowym odwzorowaniem z A_{1} w różniczkowania A_{2} spełniającym B([x, y]) = B(x)B(y) − B(y)B(x) (tzn. B jest homomorfizmem algebr Liego) to wzór

[(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})] = ([x_{1}, y_{1}], −(B(y_{1}))x_{2} + (B(x_{1}))y_{2} + [y_{1}, y_{2}])

zadaje nawias Liego na sumie prostej A_{1} i A_{2} jako modułów. Sumę prostą A_{1} i A_{2} jako modułów z takim nawiasem Liego nazywamy produktem półprostym algebr Liego. Oczywiście produkt półprosty zależy od wyboru odwzorowania B.

4. Pokazać że algebra Liego A jest produktem półprostym wtedy i tylko wtedy gdy A zawiera dwa podmoduły A_{1} i A_{2} takie że A = A_{1} ⊕ A_{2} jako moduł, A_{1} jest podalgebrą (tzn. dla x, y ∈ A_{1} również [x, y] ∈ A_{1}) i dla x ∈ A, y ∈ A_{2} mamy [x, y] ∈ A_{2}.

5. Niech A będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią wektorową z bazą X, Y_{1}, …, Y_{n}, . . .. Na A zadajemy nawias Liego wzorem [X, Y_{i}] = −[Y_{i}, X] = Y_{i+1} zaś [Y_{i}, Y_{j}] = 0. Sprawdzić że to nam zadaje algebrę Liego i że A jest generowana przez X i Y_{1} (tzn. najmniejsza podalgebra Liego A zawierająca X i Y_{1} jest równa A).

6. Niech Df = ∂_{x}^{2}f, Mf(x) = x^{2}f(x), Jf(x) = 2x(∂_{x}f)(x) + f(x). Pokazać że operatory D, M, J rozpinają rzeczywistą algebrę Liego (z komutatorem jako nawiasem Liego). Podobnie iD, iM, J rozpinają rzeczywistą algebrę Liego. Sprawdzić że te dwie algebry są izomorficzne z algebrą macierzy 2 × 2 o śladzie 0.