1. Pokazać że przemienna grupa Liego jest produktem pewnej ilości prostych i okręgów.

2. Wyznaczyć jednowymiarowe podgrupy w grupach z zadań 1 i 2 listy 1 (tzn. grupie Heisenberga i grupie "ax + b").

3. Które z następujących grup są jednospójne: grupa Heisenberga, grupa SL(2, ℝ) rzeczywistych macierzy 2 na 2 o wyznaczniku 1, grupa SU(2) unitarnych macierzy 2 na 2 o wyznaczniku 1, grupa SO(3) ortogonalnych macierzy 3 na 3 o wyznaczniku 1, grupa SL(2, ℂ) zespolonych macierzy 2 na 2 o wyznaczniku 1, grupa SL(3, ℝ) rzeczywistych macierzy 3 na 3 o wyznaczniku 1. Dla grup które nie są jednospójne opisać centrum grupy nakrywającej (jednospójnej grupy z tą samą algebrą).

Wskazówka: Macierze można zapisać w postaci OL gdzie O jest ortogonalne lub unitarne, zaś L jest macierzą trójkątną.

4. Podobnie do rzeczywistych grup Liego można zdefinować zespolone grupy Liego: różniczkowalność jest w sensie zespolonym, algebra Liego jest nad liczbami zespolonymi. Pokazać że dla zespolonych grup Liego zachodzą twierdzenia o podgrupie i homomorfiźmie podane na wykładzie: jeśli mamy zespoloną podalgebrę to podgrupa jest zespolona, jeśli homomorfizm algebr jest zespolony to homomorfizm grup jest holomorficzny (różniczkowanly w sensie zespolonym).

5. Pokazać że kontekście algebraicznym twierdzenia o podgrupie i homomorfiźmie przestają być prawdziwe: istnieje (zespolona) grupa macierzowa zadana układem równań algebraicznych i podalgebra Liego jej algebry Liego taka że odpowiednia podgrupa nie zadaje się układem równań. Podobnie, istnieją zespolone grupy algebraiczne G_{1}, G_{2} przy tym G_{1} jest jednospójna takie że algebry Liego są izomorficzne, ale homomorfizm G_{1} w G_{2} nie jest algebraiczny (potrzebuje funkcji przestępnych).

6. Przestrzeń rzutowa P (K, n) nad ciałem K to iloraz K^{n+1} − 0 w którym utożsamiamy x z λx dla dowolnego λ ≠ 0. Macierze n + 1 na n + 1 nad K w naturalny sposób działają na P (K, n). Wyznaczyć orbity działania SL(2, ℝ) i macierzy górnotrójkątnych na P (ℂ, 1). Pokazać że macierze górnotrójkątne działają tranzytywnie na orbitach SL(2, ℝ) maksymalnego wymiaru.

7. Przestrzenią jednorodną grupy G nazywamy przestrzeń na której G działa tranzytywnie. Przedstawić przestrzenie rzutowe i sfery jako przestrznie jednorodne.