1. Pokazać że dla grup macierzowych odwzorownaie exp z algebry Liego w grupę jest wyznaczone przez macierzową funkcję wykładniczą:

exp(M) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{M^{k}}{k!}

2. Wyznaczyć obraz odwzorowania eksponencjalnego w grupie SL(2, ℝ) rzeczywistych macierzy 2 × 2 o wyznaczniku 1.

3. Pokazać że jeśli grupy Liego G_{1} i G_{2} mają strukturę rzeczywistą analityczną (tzn. przejścia między mapami rozwijają się lokalnie w zbieżny szereg potęgowy), zaś h jest ciągłym homomorfizmem z G_{1} do G_{2} to h jest rzeczywiście analityczny.

4. Przypominam że dla x z algebry Liego A operator ad_{x} jest zdefiniowany wzorem ad_{x}(y) = [x, y]. Wyznaczyć wartości i wektory własne operatora ad_{x} dla A będącego algebrą macierzy n na n i x będącego macierzą diagonalną. Pokazać że w algebrze sl(n, ℝ) macierzy rzeczywistych o śladzie 0 nie ma podprzestrzeni niezmienniczych różnych od całej algebry i {0} wspólnych dla wszystkich operatorów ad_{x}.

Komentarz: Takie algebry nazywamy algebrami prostymi.