1. Pokazać że jeśli rzeczywista algebra Liego A zawiera element x taki że ad_{x} ma niezerową rzeczywistą wartość własną, to zawiera też podalgebrę Liego izomorficzną z algebrą Liego grupy przekształceń afinicznych prostej (grupy ’ax + b’).

2. Opisać (sklasyfikować) wszystkie rozwiązalne algebry Liego nad ciałami liczb rzeczywistych i zespolonych o wymiarze nie przekraczającym 3.

3. Pokazać że nieprzemienna skończenie wymiarowa rozwiązalna algebra Liego nad ciałem liczb rzeczywistych zawiera nieprzemienną podalgebrę wymiaru 2 lub 3.

Uwaga: Z twierdzeń o strukturze algebr wynika że teza zadania pozostaje prawdziwa jeśli się usunie założenie o rozwiązalności (ale nie znam prostego dowodu).

Przypominam że [A, B] gdzie A i B są podmodułami w algebrze Liego nazywamy najmniejszy podmoduł zawierający komutatory wszystkich par elementów z A i B.

4. Pokazać że jeśli I_{1} i I_{2} są ideałami w algebrze Liego B, zaś A_{1} i A_{2} są podalgebrami to I_{1} + I_{2}, I_{1} ∩ I_{2} i [I, I] są ideałami zaś I_{1} + A_{1}, A_{1} ∩ A_{2} i [I_{1}, A_{1}] są podalgebrami.

5. Niech g_{t} is h_{s} będą lokalnymi potokami dyfeomorfizmów na ℝ^{n}. Pokazać że

h_{s}(g_{t}(x)) − g_{t}(h_{s}(x)) = st[X, Y] + O((s^{2} + t^{2})^{3/2})

6 Pokazać że skończenie wymiarowa rozwiązalna algebra Liego nad ciałem zawiera ideał kowymiaru 1. Wywnioskować stąd że taka algebra Liego jest iterowanym produktem półprostym algebr jednowymiarowych. Podobnie, jednospójna rozwiązalna grupa Liego jest iterowanym produktem półprostym prostych.

Wskazówka: Każda podprzestrzeń zawierająca [G, G] jest ideałem.